ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал ФГБОУ ВПО УГНТУ в г. Стерлитамаке
Методические указания и расчетные задания по теме «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»
УФА 2011
Методические указания содержат основные положения курса высшей математики, читаемого студентам первого курса дневной и вечерней форм обучения. Данная разработка предназначена для индивидуальной внеаудиторной работы студентов. Цель разработки - выработать навыки самостоятельного решения типовых задач по теме «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»
Составители: Григорьева Т.В., доцент., канд. пед. наук
Жигалова О.В., доцент., канд. пед. наук
Седаева Л.С., доцент., канд. пед. наук
Рецензент: Шулаев Н.С., доктор. тех. наук, профессор
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2011
Методические указания
1. Дифференциальные исчисления функций одной переменной
Основные формулы:
Производная от функции у=f(х) по аргументу х
или
(1)
Формулы дифференцирования основных функций:
-
1.(хm)'=mxm–1.
11.(ctg x)'=–cosec2x.
2.
12. (arcsin x)'=
3.
13.(arccos x)'=
4. (ex)'=ех.
14. (arctg x)'=
5. (аx)'=ахln a.
15. (arcсtg x)'= –
6.
16.(sh x)'=
=ch
x.7.
17. (ch x)'=
=sh
x.8. (sin x)'=cos x.
18. (th x)'=
9. (cos x)'=–sin x.
19. (cthx)'=
10. (tgx)'=sec2x.
Основные правила дифференцирования
Пусть С–постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда:
1) С'=0; 2) х'=1; 3) (u'±v')= u'±v'; 4) (Сu)'=Сu'; 5) (uv)'=u'v+ uv';
6)
;
7) если y=f(x),
u=u(x),
т.е. у=f[u(x)],
то
у'х= у'u∙ u'х.
Дифференцирование функций заданных параметрически: х=φ (t), y=ψ(t).
(2)
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке М0(х0;у0): у–y0=y'0(х–х0).
Уравнение
нормали: у–y0=
(х–х0).
Угол между двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х) в точке их пересечения М0(х0;у0)
(3)
Производная
n-го
порядка от функции у=f(x):
у(n)=(у(n–1))',
обозначение: у(n),
f(n)
(x),
.
Дифференциалы высших порядков: dy=y'dx.
Основные свойства дифференциала:
dC=0, где С=const.
d(Cu)=Cdu.
d(u±v)=du±dv.
d(uv)=udv+vdu.
df(u)=f'(u)du.
Дифференциал n-го порядка: dny=d(dn–1y).
Теорема
Лагранжа
.
(4)
Теорема
Коши
.
(5)
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0, ∞/∞:
(6)
Пример 1.1. у=(sinx)tgx.
Решение.
Имеем ln у=tgx∙lnsinx, откуда
Пример
1.2.
Решение.
Здесь заданную функцию следует предварительно прологарифмировать:
ln
y=3 ln (2x-1) +
ln
(3x+2)-2ln(5x+4) -
ln(1-x);
Пример 1.3.Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у=(2х–3)3.
Решение.
dy=3(2x–3)2∙2dx=6(2x–3)2dx,
d2y=12(2x–3)2∙2dx2=24(2x–3)dx2,
d3y=24∙2dx3=48dx3.