Выводимость секвенции
Выводом называется последовательность секвенций, каждая из которых является или аксиомой, или получается из предыдущих по одному из правил вывода.
Если существует вывод, в котором секвенция S является последней, то она называется выводимой. Формула Р называется выводимой, если секвенция |- Р выводима.
Вид вывода
Вывод называется линейным, если каждая последующая секвенция получается из предыдущих или является аксиомой
S0 S1 ... Sn = S
Если секвенция получается из нескольких секвенций, то вывод имеет вид дерева, в котором листья - аксиомы ИВ (посылки), а переходы - применение правил вывода. Выводимость - синтаксическое понятие.
Истинность - семантическое понятие
Примеры выводов
Пример 1
Докажем, что выводима формула (P &P). Неверно, что высказывание может быть одновременно истинным и ложным. Для доказательства выводимости формулы надо показать, что выводима секвенция
|– (P &P). Искать вывод лучше всего в обратном порядке.
P & P |–
Р, Р|–
Р|– Р.
Получаем линейный вывод:
шаг Р |– Р аксиома
шаг Р, P|– правило
шаг Р & P |– правило &
шаг |– (P & P) правило
Пример 2 Доказать, что выводима формула Р V Р ?
Верно, что высказывание либо истинно, либо ложно. Третьего не дано (закон исключенного третьего). Вывести самостоятельно.
Р |– Р |– Р,Р |– Р V Р
Пример 3 (Косовский, стр.27)
Доказать формулу Р P. Доказательство имеет форму дерева:
Р |–Р Р |–Р
|–Р, Р Р, Р |–
Р |– Р Р |– Р
Р P
При выводе учтено, что А = В равносильно (A В) & (В A)
Пример 4
Вывести секвенцию AVB |– A B.
Искать вывод лучше всего в обратном порядке.
шаг - освободимся от импликации A , А V В |– В
шаг - освободимся от дизъюнкции, при этом получаются две секвенции
А, А |– В А, В |– В
шаг - освободимся от отрицания
А |– А, В В|–А, В
шаг - освободимся от лишней посылки
А |– А В |– В
Далее идти некуда, так как получившиеся секвенции - аксиомы.
Теперь можно записать прямой вывод в виде дерева вывода
А |– А В |– В
А |– А, В В |– А, В
А, А |– В А, В |– В
А, А V В |– B
А V В|– A B
Пример 5 (см. «Логика и компьютер» с.54-55)
Вывести секвенцию (А & В) |– A V В (правило Де Моргана)
Используем для поиска вывода обратный метод
шаг - исключаем дизъюнкцию из сукцедента (А & В) |– A, В
шаг - освобождаемся от отрицания в антецеденте |– (А & В), A, В
шаг - исключаем конъюнкцию, при этом получаем две секвенции |–А, А, В |– В, А, В
шаг — исключаем одно отрицание в каждой из формул сукцедентов А |– А, В В |– В, А
шаг - освобождаемся от лишней посылки А|–А В|–В Получившиеся секвенции являются аксиомами
Пример 5
Вывести секвенцию А V В |– (A & В) (самостоятельно)
шаг - исключаем дизъюнкцию из антецедента А |– (А & В) В |- (А & В)
и 3 шаги - освобождаемся от отрицаний (А & В) |– А (А & В) |– В
шаг - освобождаемся от конъюнкции А,В |–А А,В |– В
шаг - освобождаемся от лишней посылки А |– А В |– В Получившиеся секвенции являются аксиомами
Пример 6
Вывести формулу А В A V B. Для этого надо вывести 2 формулы
(А В) ( A V B) и ( A V B) (А В), т.е доказать 2 секвенции:
|– (А В) ( A V B) |– ( A V B) (А В)/