Аксиома секвенции

Пусть Г_ь Г₂, ₁ ₂ - списки формул, Р - формула. Аксиомами называют секвенции вида: Г₁ Р Г₂ |– ₁ P ₂

Секвенция является аксиомой, если и только если в списках как антецедента, так и сукцедента имеется одна и та же формула (частный случай А |- А ).

Правила вывода

Правила вывода отражают (формализуют) стандартные простейшие логические способы рассуждения, позволяющие переходить от одних истинных рассуждений к другим истинным рассуждениям.

Всего имеется 14 правил вывода: 8 логических основных и 6 структурных дополнительных.

Для каждого логического знака (&,V, , ) имеются правила введения этого знака в левую часть (антецедент) и правую часть (сукцедент), Вместо названий правил используют следующую систему обозначений:

Таблица 1

ввод логического знака
в левую часть	в правую часть
 	 
V 	 V
& 	 &
 	 

Пусть Г,  – списки формул,

А, В – формулы,

тогда логические правила имеют вид (см. табл 2 и 3):

Если в правилах вывода в качестве Г и  берутся конкретные последовательности формул исчисления высказываний, а в качестве A, B – конкретные формулы, то получаются частные случаи (или применения) правил вывода.

Таблица 2

Правило введения логического знака
	в антецедент		в сукцедент
 	Г |– , A	 	A, Г |– 
	A, Г |– 		Г |– , A
V 	A, Г |– ; B, Г |– 	 V	Г |– , A, B
	A V B, Г |– 		Г |– , A V B
& 	A, B, Г |– 	 &	Г |– , A; Г |– , B
	A & B, Г |– 		Г |– , A & B
 	Г |– , A; B, Г |– 	 	A, Г |– , B
	A  B, Г |– 		Г |– , A  B

Таблица 3

Структурные правила вывода
	в антецедент		в сукцедент
C 	Г |– 	 C	Г |– 
	A, Г |– 		Г |– , A
T 	A, A, Г |– 	 T	Г |– , A, A
	A, Г |– 		Г |– , A
I 	, A, B, Г |– 	 I	Г |– , A, B, 
	, B, A, Г |– 		Г |– , B, A, 

C – правило дополнения (Complement)

T – правило сокращения (Thinning)

I – правило перестановки (Interchange)

Правило дополнения позволяет добавлять в сукцедент и антецедент формулы. Добавление лишней посылки в условие теоремы не нарушает истинности вывода. Перестановка посылок также не влияет на истинность заключения.

Сформулированное в такой форме исчисление секвенций обладает свойством обратимости — все правила являются обратимыми, то есть можно переходить от верхних секвенций к нижним и наоборот.