Задача о студенте х

Пусть имеются следующие истинные высказывания:

1. Если Х интересуется логикой, то он или запишется на курсы по логике или он ленив

2. Если Х самостоятельно изучает литературу по логике, то он интересуется логикой.

3. Х не ленив.

4. Х самостоятельно изучает литературу по логике

Запишется ли Х на курсы по логике?

Формализация задачи

Выделим высказывания и обозначим их буквами

1. P – Х интересуется логикой

2. Q – Х запишется на курсы

3. S – Х ленив

4. D – Х самостоятельно изучает литературу по логике

Запишем логические формулы, соответствующие высказанным сложным высказываниям:

1. P  Q V S

2. D  P

3.  S

4. D

------------------

доказать истинность Q

D,  S , D  P, P  Q V S ► Q

Вывод в исчисления высказываний гильбертова типа

Используется одно правило вывода – исключение импликации (modus ponens)

Вывод

1. посылка № 4 D

2. посылка № 2 D  P

3. правило вывода к 1 и 2 формулам: P

4. посылка № 1 P  Q V S

5. правило вывода к 3 и 4 формулам: Q V S

6. выразим дизъюнкцию через импликацию: Q V S = S V Q =  S  Q

7. посылка № 3  S

8. правило вывода к 7 и 6 формулам: Q

Что и требовалось доказать.

Замечания. Как, не обращаясь к алгебре, вывести переход от дизъюнкции к импликации или закон коммутативности для дизъюнкции?

Вывести А V B ► B V A

1. аксиома № 8 (P  T)  ((Q  T)  (P V Q)  T) Подставим в эту схему следующие формулы: вместо Р формулу А, вместо Q – B , а вместо Т – B V A (A  (B V A )) ((B (B V A )) ( А V B )  B V A ))

2. Аксиома № 6 A  (B V A )

3. правило mp к 2+1 ((B (B V A )) ( А V B )  B V A ))

4. Аксиома № 7 B (B V A)

5. правило mp к 4+3 ( А V B )  B V A )

6. посылка А V B

7. правило mp к 6+5 B V A

Вывод сделан – доказано правило коммутативности

Вывести А V B ► A  B

2. Исчисление высказываний генценовского типа

Секвенциальный вариант исчисления высказываний предложил в 1934 году немецкий математик Герхард Генцен в статье LK: Logische Kalkul.

Секвенция (от латинского sequential - следование, sequor - следую) - это символическая запись выводимости одних формул из других Г |- А , здесь Г и А списки формул, возможно пустые.

Список Г называется антецедентом (лат antecedens - предшествующий, предыдущий) секвенции (условие или посылка).

Список А - сукцедентом секвенции (заключение)

Смысл секвенции раскрывается с помощью понятия представляющей формулы. Пусть Г - последовательность формул А_ь А₂, ..., A_n, A -последовательность формул В_ь В₂,. . . , В_т тогда представляющей формулой секвенции Г |- А будет формула

А, & А₂ & ... &А_n  B₁ V В₂ V. . . V В_m

Если истинны все посылки, то истинно хотя бы одно заключение.

Формула Ф - форма сложного высказывания нашего языка.

Секвенция S — форма утверждения (теорема), в котором отчетливо можно выделить условия (посылки) и заключение.

Секвенция Г |–  имеет три частные формы:

1. Г |– противоречие, утверждение о совместной противоречивости посылок;

2. |–  верно, что  имеет место;

3. |– ложь.