11

Лекция 7: аксиоматическая система логического исчисления высказываний

План лекции

1. Исчисление высказываний гильбертовского типа

2. Исчисление высказываний генценовского типа

Можно считать, что задано исчисление "И", если заданы следующие четыре множества:

• алфавит А(И);

• множество Е(И) слов алфавита А(И), называемое множеством выражений исчисления И;

• множество Ах(И) выражений исчисления И, называемое множеством аксиом исчисления И;

• множество (ф1, … фМ) частичных операций на множестве Е(И), называемых правилами вывода исчисления И.

Существуют две аксиоматические системы логического исчисления высказываний, различающиеся количеством аксиом и правил вывода:

• исчисление высказываний гильбертовского типа имеет много (10) аксиом и одно правило вывода;

• исчисление высказываний генценовского типа (секвенциальное исчисление) имеет одну аксиому и 12 правил вывода. (10 основных + 2 дополнительных)

Давид Гильберт немецкий математик 21.01.1862 - 14.02.1943, профессор Кенигсбергского и Геттингенского университетов

Генцен Герхард Карл Эмиль 24.11.1909 - 04.08.1945, немецкий математик. Был ассистентом у Гильберта.

от латинского sequential — следование, sequor - следую

лат antecedens - предшествующий, предыдущий

1. Исчисление высказываний гильбертовского типа

Исчисление содержит 10 схем аксиом. В схему аксиомы вместо переменных А, В, С можно подставлять любые конкретные формулы.

1. A  (B  A) *

2. (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) *

3. (А & В)  A

4. (А & В)  B

5. A  (B  (A & B)) *

6. A  (B V A)

7. A  (A V B)

8. (A  B)  ((C  B)  ((A V C)  B))

9. (A  B)  ((A  B)  A) *

10. A  A

Правило вывода одно - исключение импликации (modus ponens - mp)

Определение:

Доказательством формулы Ф_n называется такая последовательность формул Ф₀, Ф₁ ..., Ф_n, что каждая Ф_i , i  n либо является аксиомой, либо получена из некоторых формул Ф_j , Ф_k j,k<i по правилу вывода.

Если существует доказательство формулы Ф, то формула называется доказуемой в ИВ и обозначается Ф.

Выводом формулы Ф из множества формул Н называется такая последовательность формул Ф₀, Ф₁ . . ., Ф_п,, что каждая Ф_i, i < n

• либо является аксиомой;

• либо принадлежит Н;

• либо получается из некоторых Ф_j , Ф_k j,k<I по правилу вывода.

Если существует вывод Ф из Н, то Ф называется выводимой из Н и обозначается Н  Ф, при этом Н называется множеством гипотез.

Исходя из определений, следует, что доказательство - это вывод из пустого множества гипотез.

Примеры выводов

Пример 1. Вывести А, В  А & В

1. посылка А

2. посылка В

3. аксиома №5 A  (В  (А & В))

4. правило mр к 1 и 3 (В  (A & В))

5. правило mр к 2 и 4 А&В

Вывод: А, В, A  (В  (А & В)), (В  (A & В)), А&В

Пример 2. Вывести A  В, В А

1. посылка А  В

2. посылка  В

3. аксиома №9 (A  B)  ((A  B)  A)

4. правило mр к 1 и 3 (A   B)  A

5. аксиома №1 Р i(Т  P) подставив в схему вместо Р формулу B, вместо Т

формулу А, получим В  (A  B)

6. правило mp к 2 и 5 A  B

7. правило mp к 6 и 4 А

Второму выводу соответствует известное еще античным логикам правило, получившее название modus tollens

А  В, В

А

Пример 3. Вывести A  B, B  C A  C (транзитивность импликации)

1. посылка А  В

2. посылка В  С

3. аксиома №2 (А  (В  С))  ((A  В)  (А  С))

4. аксиома №1 Р  (Т  Р) подставив в схему вместо Р формулу В  С, вместо Т формулу А, получим (В  С)  (A  (B  С))

5. правило mр к 2 и 4 А  (В  С)

6. правило mр к 5 и 3 (A  В)  (A  С)

7. правило mр к 1 и 6 A  С

Третьему выводу соответствует широко применяемое правило транзитивности импликации

A  В, В  С

А  С

Рассмотрим исчисление высказываний гильбертовского типа с точки зрения его удобности.

1. Если Вы получили вывод или доказательство, то я могу легко проверить его правильность, прослеживая правомочность каждого шага.

2. Построение вывода является достаточно сложной процедурой. Ни в определении вывода, ни в формулировках ИВ нет указания на то, к каким формулам и в каком порядке следует применять правила.

3. Шаги доказательства в ИВ очень малы, поэтому получаются очень длинными и плохо обозримыми.

Одним из путей модернизации ИВ является введение более крупных логических блоков. ИВ содержит основное правило вывода - modus ponens. Укрупнить шаги доказательства можно за счет введения производных правил.

Определение. Производным называется такое правило, для которого можно построить вывод заключения из его посылки с помощью основного правила.

(У Ершова это допустимое правило вывода).

посылка

заключение

Рассмотренные ранее примеры выводов можно оформить в виде производных правил:

А, В А  В, В А В,В  С

А & С А А  С

Производные правила, фактически это краткая форма записи выводов, которые включаются в качестве крупных шагов.

Любой вывод, содержащий производные правила можно преобразовать в вывод с той же конечной формулой, содержащей только основное правило.

ЗАДАНИЕ: Обосновать производные правила

A А Снятие - введение двойного отрицания

А A

1 посылка A

2 аксиома 10 A  A

3 правило вывода mp A

А & В А V В коммутативность дизъюнкции и конъюнкции

В & А B V A

 (А & В)  A V B  (А V В) А & ,В правила Де Моргана

 A V B  (A & В)  А & В  (А V В)

AV B, В AVB, A AVB, A AVB, В правила удаления

А В В А дизъюнкции

отрицанием

А  А А  А

А А

Многие производные правила целесообразно оформлять в виде эквивалентности:

А  В  (А V В) A V B  (A  B) A & В   (A   В) А  В (А & В)