2. Составление логических схем

Применение пропозициональных формул к контактным схемам

Каждой пропозициональной переменной ставится в соответствие выключатель, в исходном положении размыкающий цепь (рис1.a).

Отрицанию пропозициональной переменной ставится в соответствие выключатель, в исходном положении замыкающий цепь (рис1.b).

Конъюнкции p & q ставится в соответствие схема с последовательным соединением выключателей (рис1.c).

Дизъюнкции p V q ставится в соответствие схема с параллельным соединением выключателей (рис1.d).

Одной и той же пропозициональной переменной (и ее отрицанию) несколько раз входящей в формулу, ставится выключатели, связанные между собой механически, т.е. работающие синхронно (рис1.e).

Рис 1. Соответствие схем переключателей логическим переменным и формулам

3. Примеры синтеза контактных схем

Пример 1.

В 2-х комнатах есть выключатели. Необходимо разработать такую схему, которая позволяла переключателем любой из них включать и выключать свет.

Запишем таблицу для возможных состояний.

p	q	Состояние лампы
0	0	0 - выкл
0	1	1 - вкл
1	0	1 - вкл
1	1	0 - выкл

1 Способ

Для второй и третьей строк записываем

(p0)&(q1) V (p1)&(q0) = p & q V p & q

2 Способ

Для первой и четвертой строк записываем

((p0)V(q0))&((p1)V(q1)) = (p V q) & ( p V q)

Рис. 2 Реализация схемы: a) по первому варианту; b) по второму варианту

Пример 2.

Разработать схему голосования трех судей. Если два любых судьи "за", то лампа зажигается.

Составим таблицу истинности.

A B C Состояние лампы 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 - за 1 0 0 0 1 0 1 1 - за 1 1 0 1 - за 1 1 1 1 - за

a & b & c V a & b & c V a & b & c V a & b & c

Рис. 3. Схема голосования

Можно ли ее упростить?

4. Пролог. Рекурсивные методы решения задач

План

1. Рекурсия

2. Задача о размещениях (факториал)

3. Задача о сумме

4. Задача о кроликах (числа Фибоначчи)

5. Задача о Ханойской башне

6. Задача о предках и правнуках

Рекурсия является мощным средством программирования. В Прологе она приобретает особую важность, поскольку в нем отсутствуют циклические конструкции while .. do и repeat .. until, присущие обычным языкам программирования.

Рекурсия это сведение решения задачи к ней же, но меньшей размерности. Новую задачу можно свести к еще меньшей размерности и этот процесс продолжается до тех пор, пока задача не станет настолько простой, что ее можно решить непосредственно. Способ, при котором решение состоит из двух фаз: первая фаза – разбиения на подзадачи, вторая фаза – решение подзадач, называется нисходящей стратегией. Он прост, но не всегда эффективен. Главный недостаток – большой расход памяти. При каждом рекурсивном вызове динамически выделяется участок памяти для всех переменных.

Иногда удается построить решение, начав с простого случая, поднимаясь вверх по иерархии подзадач, пока не будет решена исходная задача. Такой подход называется восходящей стратегией. Тогда рекурсивный вызов – последний оператор в правиле, и запоминать значения переменных нет надобности. Все сведения передаются как параметры. Поэтому, если можно записать решение задачи поднимаясь от простого решения к более сложному, то надо переходить к решению задачи методом восходящей рекурсии.

Вообще, любая рекурсивная процедура должна содержать хотя бы одну из двух компонент:

1. Нерекурсивную фразу, определяющую правило, применяемое в момент прекращения рекурсии.

2. Рекурсивное правило, первая подцель которого вырабатывает новые значения аргументов, а вторая – рекурсивная подцель – использует эти значения.

База правил просматривается сверху вниз. Сначала делается попытка выполнения нерекурсивной фразы. Если условие окончания рекурсии не указано, то правило может работать бесконечно.

Например, имеются следующие факты о том, какая валюта котируется выше:

doroje(dollar, rubl). - дороже

doroje(evro, rubl).

doroje(rubl, iena).

doroje(funt, euro).

Выполним запрос:

? doroje(evro, rubl).

Yes

Будет получен утвердительный ответ, поскольку такой факт явно описан в программе. Если же сделать запрос,

? doroje(evro, iena).

То ответ будет отрицательный, поскольку такой факт отсутствует. Аналогичным будет ответ на вопрос:

? doroje(funt, rubl).

Избежать противоречий здесь можно введением правила, в котором допустимо сравнение между собой не только двух, но и трех объектов:

doroje1(X, Y):- doroje(X, Y). /* два объекта */

doroje1(X, Y):- doroje(X, Z), doroje(Z, Y). /* три объекта */

Второе правило описывает, очевидно, вариант, когда X>Z, а Z>Y, откуда делается вывод, что X>Y.

Однако цепочка взаимных сравнений может быть длинной. Например, при четырех сравнениях потребуется конструкция:

doroje2(X, Y):- doroje(X, M), doroje(M, K), doroje(K, Z), doroje(Z, Y).

Описывать такие длинные правила неудобно. Здесь выгоднее применить рекурсию, обратившись к правилу из самого этого правила:

doroje1(X, Y):- doroje(X, Y).

doroje1(X, Y):- doroje(X, Z), doroje1(Z, Y).

Первое предложение в этой конструкции определяет момент прекращения рекурсивных вызовов.

Второе правило описывает возможности рекурсивных вызовов, когда существуют непроверенные варианты решения.