Численные методы дифференцирования.

Проектирование формулы численного дифференцирования получается в результате дифференцирования интерполяционных формул. Пусть известны значения функции в точках (x₁,...,x_n) и требуется вычислить производную f^(k)(x₀). Построим интерполяционный многочлен P_k(x) и положим  .

Другой способ построения формул численного дифференцирования приводит к тем же формулам - метод неопределённых коэффициентов. Чаще всего метод используется в многомерном случае, когда построить интерполяционный многочлен достаточно сложно. В этом случае коэффициенты численного дифференцирования c_i выбираются из того, чтобы формула   была точна для многочленов максимально высокой степени. Пусть   и потребуем, чтобы для такого многочлена соотношение для f^(k)(x) обратилось в равенство:  . Чтобы равенство выполнялось для любого многочлена степени m , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при a_j в правой и левой частях были равны (x^j)^(k)= j(j − 1)...(j − k + 1)x^j − k. Получаем систему уравнений:   относительно c_i. Если m = n − 1, то число уравнений равно числу неизвестных. Определитель системы (определитель Вандермонда)отличен от нуля , то есть всегда можно построить формулу численного дифференцирования с n узлами, точную для многочленов степени n − i.

30. Численное интегрирование

Если для функции f(x), определенной на [a,b], удается найти первообразную F(x) (“взять интеграл”), то значение интеграла от этой функции с легкостью определяется по формуле Ньютона

(6)

Для большинства функций поиск первообразной нереален, не говоря уж о табличных функциях, и потому возникает задача численной оценки интеграла с какой-то точностью.