Относительная погрешность

При измерении (в сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили результаты:  b≈0.4 с точностью до 0.1  l≈100.0 с точностью до 0.1  Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0.1. Однако 0.1 составляет существенную часть числа 0.4 и ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого. Для оценки качества измерений используется относительная погрешность приближенного значения.  Определение: относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения. 

На практике часто приходится иметь дело с числами, которые выражают истинную величину не точно, а приблизительно. Такие числа называютсяприближенными .

Обозначим точное числовое значение некоторой величины a, приближённое числовое значение этой же величины a^*. Тогда a » a^*.

Заменяя точное число a приближенным числом a^* , мы совершаем ошибку (погрешность).

Определение   1.1. Абсолютной погрешностью приближенного числа a^*называется абсолютная величина разности между этим числом и его точным значением  |  a  - a^* |.

Поскольку точное значение величины обычно бывает неизвестно, то невозможно вычислить и абсолютную погрешность. Но можно указать положительное число D( a^*) , удовлетворяющее неравенству:

|  a  - a* | Ј D (  a* ) (1.1)

Такое число D( a^*) называется предельной абсолютной погрешностьюприближённого числа a^*.   

Определение   1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a^*называется величина:

|  a-a*| | a*|

Любое число d( a^*), удовлетворяющее неравенству

кa-a*к кa*к Ј d ( a*)

(1.2)

называется предельной относительной погрешностью приближенного числа a^*.

Если приближенное число a^*не равно нулю и известны числа D(a^*) и d (a^*), то они связаны соотношением

d(a*) = D (a*) | a* | .

(1.3)

Заметим, что чисел, удовлетворяющих неравенствам (1.2) и (1.3) множество. Поэтому величина предельной погрешности является не вполне определённой.

На практике обычно берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. Для каждого приближенного числа обязательно определяется его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Предельная абсолютная погрешность позволяет установить пределы, в которых лежит числоa, т.е.

a*- D (a* )Ј a Ј a* + D (a* )

или

a = a * ± D (a* ).

Предельная относительная погрешность характеризует точность вычислений или измерений.