24. Формула ньютона-лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислениемпервообразной.

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

25. Геометрический смысл определенного интеграла

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в суммеσ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

26. Вычисление площади фигуры в прямоугольных координатах

27. Объем тела вращения

Рассмотрим тело вращения, полученное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, которая соответствует неотрицательной непрерывной функции  у = f(x), х   [а; b] (рис. 250).

Очевидно, что сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой  х   [а; b] и перпендикулярной оси Ох, есть круг радиуса f(x). Следовательно,

S(x) = π f ²(x)

а объем рассматриваемого тела вращения вычисляется по формуле

28. Вычисление площади поверхности вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой   вокруг оси   , где   .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую   вокруг оси   , где 

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

29. Абсолютная и относительная погрешность Абсолютная погрешность

Найдем по графику функции y = x² её приближенное значение при x = 1.5  если x = 1.5, то y ≈ 2.3  По формуле y = x² можно найти точное значение этой функции:  если x = 1.5, то y = 1.5² = 2.25  Приближенное значение отличается от точного на 0.05, так как 2.3 - 2.25 = 0.05.  Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.  Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.  Если x ≈ a и абсолютная погрешность этого этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то числа a называют приближенным значением x с точностью до h.  Точность приближенного значения зависит от многих причин. В частности, если приближенное значение получено в процессе измерения, то точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение.