16 Вопрос.

Аси́мпто́та^[1] (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещёАрхимед^[3].

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

]Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при  (или  ) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела  , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  , и из выше указанных замечаний следует, что

1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальную, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

17. Исследование функций с помощью производных и построение графиков

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график : у = х в четвертой степени / 4 - 2х.

Решение:  1) Область определения D(y) : x≠2  2) Множество значений функции Е(х) :  3) Проверим является ли функция периодической:  y(x)=x^4/(4-2x)  y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у(х)≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной.  4) Найдем нули функции:  у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0  График пересекает оси координат в точке (0;0)  5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума:  y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0  (16x³-6x^4)/(4-2x)²=0  16x³-6x^4=0  x³(16-6x)=0  x1=0  x2=8/3  Так как на промежутках (-∞;0) (8/3;∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает  Так как на промежутках (0;2) и (2;8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает.  В точке х=0 функция имеет минимум у(0)=0  В точке х=8/3 функция имеет максимум у(8/3)=-1024/27≈-37.9  6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости:  y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0  (24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней.  Следовательно:  так как на промежутке (-∞;2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.  Так как на промежутке (2;☆) y"< 0 , то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх.  7) Найдем асимптоты :  а) Вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва:  lim (при х->2-0) (x^4/(4-2x)=+∞  lim (при х->2+0) (x^4/(4-2x)=-∞  Так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой.  б) наклонные y=kx+b  k=lim (при х->∞)(y(x)/x)= lim (при х->∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет.  8) все, строй график 

18. Определение неоределенного интеграла

Неопределённый интегра́л для функции   — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция   определена и непрерывна на промежутке   и   — её первообразная, то есть   при  , то

  ,

где С — произвольная постоянная.

Если  , то и  , где   — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

19. Основные свойства неопределенного интеграла

Основные методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

то

где   — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

то

3. Метод подстановки. Если   — непрерывна, то, полагая

где   непрерывна вместе со своей производной  , получим

4. Метод интегрирования по частям. Если   и   — некоторые дифференцируемые функции от  , то

20. Табличные простейшие интегралы

21. Основные методы интегрирования (метод непосредственного интегрирования, метод подстановки, метод интегрирования по частям).

Основные методы интегрирования

Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или другими способами, привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их применение к простейшим примерам. Наиболее важными методами интегрирования являются:  1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),  2) метод подстановки (метод введения новой переменной),  3) метод интегрирования по частям. I. Метод непосредственного интегрирования Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Пример 1. ∫(1-√x)2dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx= Пример 2. Пример 3. ∫sin2xdx Так как sin2x= (1-cos2x), то  ∫sin2xdx= (1-cos2x)dx= ∫dx- ∫cos2xd(2x)= x- sin2x+C Пример 4. ∫sinxcos3xdx Так как sinxcos3x= (sin4x-sin2x), то имеем  ∫sinxcos3xdx= ∫(sin4x-sin2x)dx= ∫sin4xd(4x)- ∫sin2xd(2x)=- cos4x+ cos2x+C Пример 5. Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx ∫cos(7x-3)= ∫cos(7x-3)d(7x-3)= sin(7x-3)+C Пример 6.  II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной) Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной. Пример 7. ∫x√x-5dx Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t2+5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем: ∫x√x-5dx=∫(t2+5)•2tdt=∫(2t4+10t2)dt=2∫t4dt+10∫t2dt= Пример 8.  Так как  , то имеем Пример 9.  Пример 10. ∫e-x3x2dx Воспользуемся подстановкой -x3=t. Тогда имеем -3x2dx=dt и ∫e-x3x2dx=∫et(-1/3)dt=-1/3et+C=-1/3e-x3+C Пример 11.  Применим подстановку 1+sinx=t , тогда cosxdx=dt и  III. Метод интегрирования по частям Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле: ∫udv=uv-∫vdu где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным. Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe-2xdx Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe-2xdx=- e-2x+C  Следовательно по формуле имеем:  ∫xe-2xdx=x(- e-2x)-∫- -2dx=- e-2x- e-2x+C Пример 13. ∫(x2+2x)cos2xdx u=x2+2x, du=(2x+2)dx, dv=cos2xdx, v=∫cos2xdx= sin2x ∫(x2+2x)cos2xdx= (x2+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx u=x+1, du=dx, dv=sin2xdx, v=- cos2x (x2+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx= (x2+2x)sin2x+ (x+1)cos2x+ sin2x+C