7 Производная произведения. Формула

Формула производной произведения читается следующим образом: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции:

u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)

Как отмечалось эта формула позволяет применить правило плиты и чайника – свести вычисление производной произведения двух функции к двум задачам, которые мы уже умеем решать: к задачам вычисления производных сомножителей, а также к сложению и умножению функций.

Производная частного функций 

Формула производная частного, формула производной отношения двух функций записывается следующим образом:

[^u(x)/_v(x)]'=[u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[¹/_v²_(x)]

8 Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  .

Пример

Пусть   Тогда функция   может быть записана в виде композиции   где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

9 Вопрос.

10 Вопрос.

Дифференциалом функции   в   называется главная, линейная относительно  , часть приращения функции.

.

Геометрический смысл дифференциала:

Пр оведем к графику функции   в точку   касательную   и рассмотрим ординату этой касательной для точки  . На рисунке  ,  . Из прямоугольного треугольника  имеем:  , т.е.  . Но, согласно геометрическому смыслу производной,  . Поэтому   или  . Это означает, что дифференциал функции   в   равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда   получает приращение .

11 Вопрос

Производные высших порядков некоторых элементарных функций

Свойства производных и дифференциалов высших порядков

12 Вопрос.

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если  = 0, то  , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞. Второе правило Лопиталя.

Если  = ∞, то  , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0 ⋅∞, ∞ - ∞, 1^∞ и 0⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований.

Пример 3.25. Найти предел функции y =  при x → 0.

Решение. Имеем неопределенность вида ∞-∞. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь:

=  =  = = = = .

13 Вопрос.

Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

(Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].