Определение функции в точке.
Если левые и правые пределы ф-ии совпадают и равны они f(x), то ф-ия в точке непрерывна.
Бесконечно большие и бесконечно малые.
Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству xa < имеет место неравенство f(x) > M.
limx a=
Функция ограниченная при x a.
Функция ограниченная при x .
Теорема. Если limx a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x a.
Бесконечно малые и их свойства. limx a (x)=0
Теорема. 1. Если f(x)=b+, где - б.м. при x a, то limx a f(x)=b и обратно, если limx af(x)=b, то можно записать f(x)=b+(x).
Теорема. 2. Если limx a (x)=0 и (x) 0, то 1/ .
Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u(x) z(x) v(x), и limx a u(x)=limx a v(x)=b, то limx a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).
2 Первый замечательный предел.
|
|
3 Второй замечательный предел.
Переменная величина
|
при n имеет предел, заключенный между 2 и 3.
4 Бесконечно малая величина
Последовательность 
называется бесконечно
малой,
если 
.
Например, последовательность чисел 
—
бесконечно малая.
Функция
называется бесконечно
малой в окрестности точки 
,
если 
.
Функция
называется бесконечно
малой на бесконечности,
если 
либо 
.
Также
бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если 
,
то 
, 
.
Бесконечно большая величина
Во
всех приведённых ниже формулах
бесконечность справа от равенства
подразумевается определённого знака
(либо «плюс», либо «минус»). То есть,
например, функция 
,
неограниченная с обеих сторон, не
является бесконечно большой при 
.
Последовательность
называется бесконечно
большой,
если 
.
Функция
называется бесконечно
большой в окрестности точки
,
если 
.
Функция
называется бесконечно
большой на бесконечности,
если 
либо 
.
Свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то
— бесконечно
большая последовательность.
5 Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот
же факт можно записать иначе: 
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
6 Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).
Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.
Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.
у