2. Круговые преобразования.
Плоскости вместе с бесконечно удалённой точкой будем называть сферами.
Определение. Преобразование пространства, сохраняющее сферы, называется круговым.
Инверсия является частным случаем круговых преобразований.
Теорема 2.1. Круговое преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую точку, является подобием.
Доказательство. Если круговое преобразование сохраняет бесконечно удалённую точку, то оно сохраняет плоскости, т.е. является аффинным. Но аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием (теорема 4.3 части III).
Теорема 2.2. Круговое преобразование, не сохраняющее бесконечно удалённую точку, может быть представлено композицией инверсии и движения.
Доказательство. Пусть круговое
преобразование f переводит
бесконечно удалённую точку в некоторую
точку О,
– инверсия с центром в точке О. Тогда
сохраняет бесконечно удалённую точку,
т.е. является подобием. Коэффициент
подобия зависит от радиуса инверсии и
может быть сделан равным единице. Тогда
будет движением, и f можно
будет представить композицией инверсии
и движения.