2. Построение уравнений аппроксимации деформаций в области единичного двумерного симплекс - элемента.

Рассмотрим метод построения конечно-элементных соотношений для плоской задачи теории упругости. Пусть имеется двумерный симплекс-элемент с вершинами i, j, k. Для аппроксимации перемещений в области элемента будем иметь:

u =₁+₂ x+₃ y, (3.6)

v =₄+₅ x+₆ y,

где _1,2,....,6 - параметры линеаризации, постоянные для элемента.

Для компоненты U в узлах i, j, k получим:

u_i =₁+₂ x_i+₃ y_i,

u_j=₁+₂ x_j+₃ y_j, (3.7)

u_k =₁+₂ x_k+₃ y_k,

Решая (3.7) относительно _1,_2,₃ и подставляя полученные для них выражения в (3.6) получим:

U = [(a_i+b_i x+c_iy)U_i + (a_j+b_j x+c_jy)U_j+ (a_k+b_k x+c_ky)U_k] /(2S), (3.8)

где a_i = x_j y_k - x_k y_i ; b_i = y_j-y_k ; c_i = -(x_j – x_k) (3.9)

Коэффициенты a_j, b_j, a_k, b_к, получаются из (3.9) круговой перестановкой индексов. Для компоненты V аналогично:

V = [(a_i+b_i x+c_iy)V_i + (a_j+b_j x+c_jy)V_j+ (a_k+b_k x+c_ky)V_k] /(2S), (3.10)

Деформации определяются из уравнений Коши

{}= = . (3.11)

П одставляя в уравнения (3.11) равенства (3.8) и (3.10) и производя дифференцирование, получим :

3. Построить алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области при краевых условиях: u /_AB =30y, u /_BC =30(1-x²), u /_CD=0, u /_AD=0 и шаге дискретизации h = 1/4.

Строим сетку с шагом h=1/4. Получим девять внутренних узлов (рис.4). Записываем в этих узлах конечно-разностные уравнения.

В силу симметрии граничных условий имеем

u₁₁ = u₃₁, u₁₂ = u₃₂, u₁₃ =u₃₃. (7)

Э

5000

10000

0

10000

10000

5000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(1.3)

(2,3)

3,3)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(1,1)

(2,1)

(3,1)

то сокращает число неизвестных значений функции u во внутренних узлах до шести. Таким образом, в узлах (3,1), (3,2), (3,3)

Рис.4

конечно-разностные уравнения писать не нужно. В остальных шести внутренних узлах (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) получаем соответственно шесть уравнений:

(8)

В эти уравнения входят еще 12 значений функции в граничных точках. Эти значения мы берем из краевых условий.

(9)

Заметим, что в остальных узлах краевые условия не используются.

Окончательно, учитывая условия (7), (9), получаем систему

Решив эту систему методом Гаусса, получим

u₁₁ = 714, u₂₁ = 982, u₁₂ = 1875, u₂₂ =2500, u₁₃ = 4286, u₂₃ = 5268.

Билет № 5

1. Методика и технология построения математической модели физической системы.

Построение математической модели системы

Из приведенного общего определения системы следует, что природа элементов системы может быть различна. Это качество системы и принципы системного подхода в целом позволяют подойти к исследованию систем на довольно высоком содержательном уровне. Наполнение системы определяет её предметную направленность и этим предопределяют методологию и технологию её исследования. Задачи исследования могут быть разными. В настоящей работе ставится задача исследования напряжённо-деформированного состояния системы деформируемых твёрдых тел в целом и на уровне её отдельных элементов. Для этого в каждом конкретном случае необходимо определить содержание системы, т.е. её границы и наполнение. Всё это обусловит облик исследуемой системы. Математическая модель сложной системы получается как синтез математических моделей её элементов. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т.е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т.е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования.

Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В самом общем случае эта структурная схема автором представлена следующим образом:

1. Математическая модель среды существования системы,

2. Математическая модель состояния среды системы или объекта,

3. Условия связи системы с внешней средой,

4. Математическая модель основной функции системы,

5. Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики деформируемых твёрдых тел приведенная структурная схема имеет вид:

1.Геометрическая модель деформируемой среды,

2.Механико-математическая модель элементов структуры деформируемой среды,

где  _{i ,}  _i - интенсивности напряжений и деформаций.

3.Система краевых условий, задаётся в соответствии с классификацией поставленной задачи как краевой задачи математической физики.

4.Условия равновесия системы (ядро математической модели):

, где , где П – полная энергия деформируемой системы, {P}– вектор внешних сил, {σ}, {ε}, {U}– векторы напряжений, деформаций и перемещений, V– объём области существования исследуемой системы.

5.Математическая модель искомого решения: .

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе и разработка методов её исследования. Наиболее применяемыми методами исследования математических моделей физических систем являются приближённые аналитические методы и численные: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем или объектов. Таким образом, в процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами:

1. с системой (реальной, проектируемой, воображаемой),

2. с математической моделью системы,

3. с алгоритмической (машинной) моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

1. определение и формирование системы,

2. построение математической модели системы,

3. разработка алгоритмической (машинной) модели,

4. разработка программного комплекса.

Процесс моделирования содержит определённые этапы. На схеме, pис. 1.1, представлена структурная схема процесса математического моделирования, состоящая из восьми этапов. Подобное деление на этапы является несколько условным, но приведенное содержание этапов является в любом случае обязательным.

Рис. 1.1. Технологическая схема процесса математического моделирования