3. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольной области.

Рассмотрим краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(1)

Необходимо найти функцию u=u(x,y), удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению (1), а на границе Г – условию

(2)

где - заданная непрерывная функция.

Согласно вышеизложенному будем иметь

, (3)

где

Уравнения (3) вместе со значениями u_ik в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции u(x,y) в узлах (x_i,y_k). Наиболее простой вид эта система имеет для прямоугольной области и для l = h. В этом случае уравнения (3) записываются следующим образом:

u_i+1,k + u_i-1,k + u_i,r+1 +u_i,k-1 - 4u_ik =h²f_ik , (4)

а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции.

При составлении уравнения (4) была использована схема узлов, изображенная на рис.2.

(i,k)

Рис.2

В этом случае для уравнения Пуассона будем иметь

.

Билет №2

1. Математическое моделирование, структура математической модели.

Математическое моделирование

Математическое моделирование основывается на известном факте: различные изучаемые процессы могут иметь одинаковое математическое описание. Следовательно, если система определена и ее функция может быть описана с помощью математических и логических предложений, то исследование системы возможно математическими средствами и средствами вычислительной техники.

Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.

Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные её свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет k выходных параметров, тогда погрешность модели ε_мод можно представить как норму вектора ε = { ε₁, ε₂, …, ε_k }; ε_мод = max | ε_j |, j = ; или ε_мод = ,

где - относительная погрешность модели по j-у выходному параметру,

y_j^e, y_j - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра.

Должно выполнятся условие ε_мод < ε_пред , где ε_пред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.

• Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.

• Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели. Погрешности математического моделирования определяются двумя факторами: степенью точности формального описания исходной системы и неточностью определения исходных данных.

• Экономичность. Эта характеристика стоимости исследования модели системы по разработанному алгоритму на компьютере.

Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель системы, исследователь выделяет систему как объект окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.

Для построения математических моделей используют различные методы, которые можно объединить в две группы: формальные и неформальные методы. Формальные методы применяют для построения математических моделей систем при известных математических моделях элементов. Неформальные методы применяются для синтеза теоретических и эмпирических математических моделей. Теоретические математические модели создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу систем. Эмпирические математические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств системы. Математическая модель системы получается как синтез математических моделей её элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и её элементов.

Построение математической модели системы

Математическая модель сложной системы получается как синтез математических моделей её элементов. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т.е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т.е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования.

Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В самом общем случае эта структурная схема автором представлена следующим образом:

1. Математическая модель среды существования системы,

2. Математическая модель состояния среды системы или объекта,

3. Условия связи системы с внешней средой,

4. Математическая модель основной функции системы,

5. Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики деформируемых твёрдых тел приведенная структурная схема имеет вид:

1. . Геометрическая модель деформируемой среды,

2. . Механико-математическая модель элементов структуры деформируемой среды,

где  _{i ,}  _i - интенсивности напряжений и деформаций.

3. . Система краевых условий, задаётся в соответствии с классификацией поставленной задачи как краевой задачи математической физики.

4. . Условия равновесия системы (ядро математической модели):

, где ,

где П – полная энергия деформируемой системы,

{P}– вектор внешних сил,

{σ}, {ε}, {U} – векторы напряжений, деформаций и перемещений,

V– объём области существования исследуемой системы.

5. . Математическая модель искомого решения: .

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе и разработка методов её исследования. Наиболее применяемыми методами исследования математических моделей физических систем являются приближённые аналитические методы и численные: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем или объектов. Таким образом, в процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами:

1. с системой,

2. с математической моделью системы,

3. с алгоритмической моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

1. определение и формирование системы,

2. построение математической модели системы,

3. разработка алгоритмической модели,

4. разработка программного комплекса.