Билет № 10

1. Общий принцип метода сеток.

Идею этого метода покажем на примере решения задачи Дирихле для уравнения

где a,b,c,d,q,f – функции независимых переменных х,у; определённые в замкнутой области = D+Г. Будем также считать, что все эти функции непрерывны в D+Г, a,b положительны в D+Г, a q неположительные в ней. Необходимо найти решение уравнения (1.10) , непрерывное в D вплоть до границы Г, и принимающее в точках границы Г заданные значения φ, т.е. и|_г= φ, где φ – непрерывная функция на Г.

Для получения численного решения этой задачи произведём дискретизацию D+Г посредством проведения семейства параллельных прямых:

x = x₀ +i h , (i= 0, 1, 2,…),

y = y₀ +k l , (k= 0, 1, 2,…).

Точки пересечения этих прямых называют узлами. Два узла называют соседними, если они удалены друг от друга в направлении х или у на один шаг сетки в направлении соответствующей оси. Рассматривать будем только узлы, принадлежащие = D+Г. Узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат множеству узлов D+Г, называют внутренними. Множество внутренних узлов называется сеточной областью, обозначим её D_h = {M_h}. Функция, определённая в узлах сетки, называется сеточной функцией. Узлы, у которых хотя бы один соседний узел не принадлежат к рассматриваемому множеству, называют граничными, совокупность их называют границей сеточной области. Для каждого внутреннего узла (i,k) составим разностное уравнение для заданного уравнения (1.10), заменив в точке (x₀ +i h, y₀ +k l) производные, входящие в (1.10), разностными соотношениями (1.4), (1.5), (1.8), (1.9). Для краткости записей в дальнейшем примем обозначения: и(x₀ +i h, y₀ +k l)= и_i,k . Коэффициенты в (1.10) в узле (i,k) будем обозначать через a_i,k, b_i,k ,…f_i,k . Тогда для узла (i,k) дифференциального уравнения (1.10) в конечных разностях получим следующее выражение

Уравнения типа (1.11) можно записывать для каждого внутреннего узла. Если же узел (i,k) является граничным узлом, то в этом узле и_ik= φ|_г в ближайшей к этому узлу точке Г. В итоге для решения задачи (1.11) в области D+Г получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Если эта система разрешима, то, решив её, получим приближённые значения искомого решения на конечном множестве точек, являющихся внутренними узлами. Но при такой постановке решения дифференциального уравнения (1.10) сразу возникают вопросы сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем.

2. Построение уравнений аппроксимации деформаций в области единичного трёхмерного симплекс - элемента.

3. Построение разностных схем для линейных дифференциальных уравнений параболического типа.

Вопросы построения и исследования разностных схем, возникающих при решении параболических уравнений методом сеток, рассмотрим на примере задачи Коши для уравнения теплопроводности

(2.28)

с условием на прямой t = 0

и(х, 0) = ψ(x), (2.29)

Требуется найти функцию и (х, t), которая при t > 0 и удовлетворяла бы уравнению (2.28), а при t = 0 выполняла бы условие (2.29). Будем считать, что задача (2.28) , (2.29) имеет в верхней полуплоскости единственное решение и(х, t), непрерывное вместе со своими производными. Запишем задачу (2.28) , (2.29) в виде L(u) = f. Для этого достаточно положить

L(u) ≡

f ≡

Будем далее считать, что t изменяется в пределах 0 ≤ t ≤ T < + .

В рассматриваемом случае

D = {- < х < +, 0 < t ≤ T}, Г - объединение прямых t= 0 и t= T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область = D + Г сеточной областью D_h. К области D_h отнесем совокупность точек (узлов) (х_т, t_n ), координаты которых определяются по правилу

x_m = mh, т = 0, ± 1, ±2, ..., h>0,

t_n = n , п = 0, 1, ..., N,  >0, N ≤ T< (N+).

Заменим задачу L(u) = f разностной схемой вида L_h(u^(h)) = f ^(h). Обозначим через и( х_т, t_n ) точное значение решения задачи L(u)=f в узле (х_т, t_n ), через — соот­ветствующее приближенное сеточное значение. Для замены дифференциальных операторов разностными воспользуемся формулами численного дифференцирования.

(2.31)

(2.30)

(2.32)

(2.33)

некоторое время употреблялся в вычислительной практике.

Однако в настоящее время он не используется, так как оказалось, что соответствующая ему разностная схема неустойчива при любом выборе шага h — по пространству и шага  —по времени.