Пересечение поверхностей второго порядка

Порядок линии пересечения

– равен произведению порядков пересекающихся поверхностей. В частности. Поверхности 2-го порядка пересекаются плоскостью по кривой 2-ого порядка (2*1=2).

Между собой поверхности 2-ого порядка пересекаются по кривой 4-ого порядка. (2*2=4).

Геометрический смысл порядка линии:

Порядок линии равен максимально-возможному количеству точек пересечения линии с плоскостью.

Загрузить файл 4_8-а.dwg (Лекция 10, сфера+ конус). Построить линию, вытянуть. Показать 4 точки пересечения кривой с плоскостью, подтверждающие 4-й порядок линии пересечения.

Варианты пересечения поверхностей

Различают два варианта пересечения: врезку и проницание.

Смещать сферу в предыдущей задаче. Показать врезку и проницание.

Врезка – линия представляет собой единую ветвь. Показать на 4_8-а.dwg

Проницание – линия распадается на несколько ветвей. Одна поверхность пронизывает другую. Показать проницание сферы конусом. Вытянуть линию. Показать порядок линии по 4-м точкам ее пересечения плоскостью.

Лекция 7. Пересечение поверхностей второго порядка (продолжение)

Вводная:

1. Итоги первой попытки сдачи коллоквиума:

АС-186. Сдали13 из 23 (56%). На отлично 3 (13%)

АС- 187… 17 из 29 (58%). На "отлично" 6 (20%)

Ф-162, сдал 1 из 15 ­ (7%) и то на оценку 3.2. (случайно…?) Группа не готовилась. Иначе придется признать низкий уровень интеллекта в этой группе, а так – разгильдяи, это лучше, чем….

2. Напомнить об амнистии при получении оценки 4 и выше. Будет еще одна попытка, последняя.

3. Аттестация!!! По коллоквиуму.

4. Кто нашел четыре окружности, проходящие через заданную точку на поверхности тора?!

Напомнить характеристику линии пересечения кривых поверхностей: порядок линии.

При пересечении поверхностей 2-ого порядка образуется кривая 4-ого порядка. Она может иметь одну (врезка) или две ветви (проницание).

Существуют интересные особенности линии пересечения поверхностей 2-ого порядка.

Частные случаи линии пересечения поверхностей 2-ого порядка

Четыре теоремы о частных случаях пересечения.

Теорема 1.

Если две поверхности 2-го порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

По файлу 4_8-а.dwg (сфера+конус, Лекц. 10) показать плоскость симметрии. Применить к фронтальной проекции команду Solprof и показать параболу.

Загрузить файл 4_9-а.dwg. Показать линию как пространственную кривую 4-ого порядка и гиперболу во фронтальной проекции.

Распадение линии пересечения

В определенных условиях, рассматриваемых далее, линия пересечения поверхностей 4-ого порядка распадается на кривые низших порядков, сумма порядков которых равна 4. В общем случае возможны сочетания: 1+1+1+1; 1+1+2; 2+2; 1+3.

Теорема 2. О двойном соприкосновении.

Если две поверхности 2-ого порядка касаются друг друга в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-ого порядка.

Задача 4_13-а. Лучше решить с построением. Но можно загрузить одноименный файл (лекция 11). Вынести линию. Диагностировать эллипсы.

Следствие. Эллиптические поверхности 2-ого порядка имеют круговые сечения.

Существование круговых сечений вытекает из теоремы 2: нужно обеспечить касание эллиптической поверхности и некоторой сферы. Согласно теореме они пересекутся по двум плоским кривым. Но плоские кривые на сфере – это окружности.

Построение круговых сечений прямого эллиптического конуса:

1. построить эллиптический конус;

2. построить сечение конуса как его фронтальный очерк;

3. опустить перпендикуляр из произвольной точки оси конуса на образующую конуса – на его сечение;

4. построить сферу радиусом, равным длине перпендикуляра;

5. выполнить объединение и получить линии пересечения;

6. вытянуть и диагностировать окружности. Показать два семейства окружностей.

Теорема 3. О предварительно заданной плоской кривой в линии пересечения.

Если две поверхности 2-ого порядка по построению пересекаются по одной плоской кривой, то существует еще одна плоская кривая в линии их пересечения. (4–2=2)

Задача 4_13-б. Загрузить одноименный файл (лекция 11). Диагностировать эллипс. Достроить эллипс до полного.

Теорема 4. Теорема Монжа. (Напомнить: Гаспар Монж – основоположник начертательной геометрии).

Если две поверхности 2-го порядка касаются третьей поверхности 2-ого порядка, то первые две поверхности пересекаются по двум плоским кривым 2-го порядка.

Задача 4.11. Построить самому.

Последовательность построений для реализации пересечения по теореме Монжа:

1. Создать контуры вращения заданных тел, обеспечив касание образующих (привязка Tangent) с общей окружностью.

2. Построить тела вращением их контуров.

3. Выполнить объединение тел.

4. Вытянуть линию пересечения. Диагностировать линию пересечения.

Пример с пересечением двух трубопроводов. Разделить заготовки под сварку.

Пример с вписанными эллипсоидами (лекция 11).

Задача о пересечении двух цилиндров равного диаметра с пересекающимися перпендикулярными осями.

Построить два цилиндра разного цвета, сделать копии. Одну объединить – два трубопровода. Вторую пересечь. Получим решение задачи: "спереди – окружность, слева – окружность, но не сфера, что это?".

Срезать половину, создать оболочку – архитектурный свод в храмах.

Пример на пересечение конусов по эллипсу и гиперболе:

1. Построить конус вращения с верхней чашей.

2. Создать дубликат конуса.

3. Построить ось вращения из вершины в центр основания (привязка Center).

4. Повернуть один из конусов вокруг произвольной точки оси вращения (привязка Nea) так, чтобы пересеклись обе чаши.

5. Придать конусам разный цвет.

6. Объединить – образовались эллипс и гипербола.

7. Вытянуть кривые. Показать наглядно

8. Построить асимптоты гиперболы.

Другие частные случаи

Для линейчатых поверхностей (цилиндр, конус, однополостный гиперболоид) возможны сочетания: 1+1+1+1; 1+3; 1+1+2;

Пример 1: пересечение двух эллиптич. конусов с общей вершиной по 4-м прямым: это вариант 1+1+1+1.

Пример 2: пересечение двух эллиптич. конусов, имеющих общую образующую.

Поскольку задана общая образующая, то она является частью линии пересечения, имеющей порядок =1. Остается 4-1=3 – кривая третьего порядка:

1. Построить эллиптический конус.

2. Создать его дубликат на том же месте. Придать другой цвет.

3. Поставить ПСК, направив ось Z вдоль произвольной образующей.

4. Сместить один из конусов вдоль оси Z.

5. Повернуть вокруг оси Z не 45…60⁰.

6. Объединить конусы.

7. Втянуть линии – образовались две линии: одна кривая 3-его порядка, вторая линия – прямая.

8. Показать 3-ий порядок линии по количеству точек пересечения.

9. Интересно добавить вторые чаши конусов и получить продолжение кривой.

Вариант 1+1+2 сложен в реализации и будет рассмотрен позднее при изучении однополостного гиперболоида.