1 Методические указания к расчету линейных электрических цепей однофазного синусоидального тока

1.1 Основные теоретические положения

1.1.1 Изображение синусоидальной функции комплексным числом.

В курсе ТОЭ используются следующие формы записи комплексного числа:

– алгебраическая (1)

– показательная , (2)

где – модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа;

– тригонометрическая , (3)

где – действительная часть комплексного числа; – мнимая часть комплексного числа.

Алгебраическую форму удобно применять при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательную – при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня.

Комплексное число называется комплексно-сопряженным числу .

Мгновенное значение синусоидальной функции равно мнимой части, изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на :

. (4)

Комплексное действующее значение связано с комплексной амплитудой равенством

. (5)

1.1.2 Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла. Запишем мгновенные значения синусоидальных электрических величин (тока, напряжения), изменяющихся с течением времени, и их комплексные выражения.

Мгновенное значение тока

, (6)

где – максимальное значение, или амплитуда, тока;

– фаза;

– начальная фаза;

– угловая частота.

Комплексная амплитуда тока, соответствующая его мгновенному значению (6),

. (7)

Мгновенное значение напряжения

, (8)

где – максимальное значение, или амплитуда, напряжения.

Комплексная амплитуда напряжения, соответствующая его линейному значению (8),

(9)

Мгновенные значения падения напряжения на резисторе, индуктивности и емкости и соответствующие им комплексные амплитуды имеют вид:

, (10)

где ;

(11)

где – индуктивное сопротивление;

(12)

где – емкостное сопротивление.

Необходимо отметить, что для ветвей, каждая из которых содержит только один элемент: сопротивление R, индуктивность L или емкость C, комплексные сопротивления соответственно равны:

; ; . (13)

1.1.3 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Закон Ома. Для ветви, содержащей ЭДС и элементы сопротивлений, закон Ома имеет вид

. (14)

Первый закон Кирхгофа применяется к узлу электрической цепи и для комплексных токов имеет вид

. (15)

Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру электрической цепи и для комплексных падений напряжений, и ЭДС имеет вид

, (16)

где – алгебраическая сумма падений напряжений на комплексных сопротивлениях отдельных участков. Со знаком «+» берутся те из них, для которых направление тока совпадает с направлением обхода контура, а со знаком «–» – те, для которых направление тока противоположно направлению обхода контура;

– алгебраическая сумма комплексных ЭДС источников ЭДС, со знаком «–» ЭДС, направление которых противоположно направлению обхода контура.

Например, уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме для действующих значений напряжений и тока схемы (рисунок 1.1), состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и C, имеет вид

, (17)

где – комплексное сопротивление;

– модуль комплексного сопротивления;

– аргумент комплексного сопротивления.

Рисунок 1.1 – Схема с последовательно соединенными элементами R, L, C

При расчете цепей переменного тока посредством комплексных чисел остаются справедливыми все методы, применяемые для расчета цепей постоянного тока. При этом во всех уравнениях состояния цепи ЭДС, напряжения, токи, потенциалы, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.

1.1.4 Комплексная мощность и баланс мощностей цепи переменного тока.

Комплексная мощность определяется уравнением

, (18)

где – модуль полной мощности;

– активная мощность;

– реактивная мощность;

– сопряженный комплекс тока.

Уравнение баланса мощностей

, (19)

где – напряжение на выводных зажимах источника тока ;

– комплекс тока, сопряженный току источника тока ;

– алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС (положительны те из них, для которых направления действия ЭДС и соответствующего тока совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно);

– алгебраическая сумма мощностей источников тока (положительны те из них, для которых напряжение на источнике тока и его ток совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно);

– арифметическая сумма (учитывается потребляемая мощность, как во внешних сопротивлениях, так и во внутренних сопротивлениях источников энергии).

1.2 Пример расчета электрической цепи (рисунок 1.2)

c

C2 C3

E1 d

a

f II E₃

R1 L2 e

R3

b

Рисунок 1.2 – Схема электрической цепи

Дано:

; Ом;

; ;

; В;

;

1.2.1 Составление системы уравнений для расчёта токов в цепи (см. рисунок 1.2) по законам Кирхгофа.

Предварительно необходимо выбрать положительные направления для токов во всех ветвях схемы и направление обхода контуров (a – b – f – c – a и a – c – d – e – b – a), тогда систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной форме можно записать следующим образом:

Cистема уравнений по законам Кирхгофа в символической форме:

1.2.2 Расчет комплексных сопротивлений и проводимостей всех ветвей электрической цепи.

;

Ом;

Ом;

Ом.

Комплексные сопротивления:

Ом;

Ом;

Ом.

Комплексные проводимости:

См;

См;

См.

1.2.3 Расчет токов электрической цепи методом контурных токов.

Задаемся направлением контурных токов (см. рисунок 1.2 ) и и составляем уравнения для независимых контуров a-b-f-c-a и a-c-d-e-b-a.

Подставим исходные данные

Решая систему методом Крамера, определим контурные токи

; ,

где ; ; .

Токи ветвей определяем через контурные токи

А;

Проверку выполняем на основании первого закона Кирхгофа:

,

.

1.2.4 Расчет токов в электрической цепи методом двух узлов.

Так как в схеме (см. рисунок 1.2) всего два узла, то напряжения между ними определяем по методу двух узлов:

.

Рассчитываем токи ветвей, применяя закон Ома:

; ; .

;

;

.

1.2.5 Показание ваттметра:

, тогда

Вт – показание ваттметра.

Определяем активную мощность по формуле , где

. (рисунок 1.3). Тогда Вт.

Рисунок 1.3 – Векторная диаграмма для определения

1.2.6 Показание вольтметра электромагнитной системы.

Вольтметр подключен между точками b и d (см. рисунок 1.2), тогда

Вольтметр покажет модуль действующего значения напряжения :

В.

1.2.7 Баланс мощностей.

В цепи синусоидального тока должен выполняться баланс активных и баланс реактивных мощностей:

Вар.

Баланс выполняется:

92,881≈92,89;

-220,231≈-219,76.

1.2.8 График изменения тока i₂(t) во времени. (рисунок 1.4)

, .

Рисунок 1.4 – График изменения тока i₂(t) во времени

1.2.9 Топографическая диаграмма напряжений, совмещенная с векторной диаграммой токов. (рисунок 1.5)

Принимаем потенциал узла b равным нулю.

=0;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Рисунок 1.5 – Топографическая диаграмма напряжений, совмещенная с диаграммой токов

1.2.10 Система уравнений по законам Кирхгофа при наличии взаимоиндукции.

c

C3

C2 d

E1

a E3

f I II e

M

R1 L2 R3

L₃

b

Рисунок 1.6 – Схема электрической цепи с индуктивной связью

Уравнения по законам Кирхгофа в дифференциальной форме для схемы (рисунок 1.6), где индуктивно связанные катушки L₂ и L₃ включены встречно, имеют вид:

Уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме: