3.Уравнения прямой в пространстве

3.1 Уравнение прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей:

(18) рис.30

Например, на рис.30 прямая ℓ образована как линия пересечения двух плоскостей α и β.

Отметим, что, если плоскости параллельны , то уравнение (18) не определяет прямую.

3.2 Каноническое уравнение прямой.

.

(19)

Уравнение (19) является обобщением уравнения (4).

Если равенства (19) приравнять параметру t, то получим следующий тип уравнения.

3.3 Уравнение прямой в параметрической форме.

x = l·t + x0 y = m·t + y0 z = n·t + z0,

(20)

где каждому значению параметра t будет соответствовать своя точка на прямой.

Как и в двумерном случае (уравнения 3, 4) из уравнения (19) следует уравнение.

3.4 Уравнение прямой проходящей через две заданные точки М(x₀, y₀, z₀) и N(x₁, y₁, z₁).

(21)

4.Задачи на прямую и плоскость

1. Найти точку на прямой, заданной в виде:

1. Ах + Ву + С = 0 (А и В ≠ 0).

Решение.

Так как А, В – координаты вектора нормали и по условию они не равны нулю, то прямая пересекает оси координат, если С ≠ 0, или проходит через начало координат при С = 0. В первом случае, положив у = 0, находим точку пересечения прямой с осью Ох, положив х = 0 - точку пересечения прямой с осью Оу. Во втором случае, кроме точки (0, 0), лежащей на прямой, можно найти координаты других её точек, придавая значения одной из переменных и вычисляя из уравнения прямой соответствующие им значения другой переменной.

Пример. Найти три точки, через которые проходит прямая

2х – 3у – 6 = 0.

Решение. Найдем вначале точки пересечения прямой с осями координат:

при у = 0 2х = 6 или х = 3; при х = 0 3у = -6 или у = -2.

Для определения координат третьей точки положим в уравнении прямой у = 2, тогда 2х – 6 = 0 или х = 6. Итак, точки (3, 0), (0, -2) и (6, 2) лежат на заданной прямой, в чем легко убедиться, т. к. все три пары координат обращают её уравнение в тождество.

.

Решение. Запишем это уравнение в параметрической форме:x = m·t + x0 y = n·t + y0 z = k·t + z0. Теперь осталось задать значение (произвольно) параметра t и вычислить по этим формулам соответствующие им значения координат точек прямой, т. к. каждому параметру t соответствует единственная точка прямой.

Пример. Найти точку, лежащую на прямой

.

Решение. Приравнивая равенства параметру t , имеем:

х = t + 5, у = -2 t + 4, z = 3. Положив, к примеру, t = 5, имеем:

х = 10, у = -6, z = 3.

.

Решение. Так как число неизвестных на единицу больше, чем число уравнений, то одну из них можно задать произвольно. Произвольно задаваемая переменная называется свободной, остальные две - базисными. При выборе переменной в качестве свободной, необходимо учесть, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при базисных переменных, был отличен от нуля. В противном случае нарушается условие существования единственности решения. Остальные две неизвестные величины можно найти, решив систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример. Найти точку на прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей:

.

Решение. Положим z = 0. Для определения х и у решим систему: . Складывая эти два уравнения, получим 4х=4 или х = 1. Откуда у = .

Таким образом, точка с координатами (1, , 0) лежит

на заданной прямой.