1.5 Уравнение прямой, преходящей через данную точку в заданном направлении.

у – у0 = к · (х – х0),

(5)

где к = tg α называется угловым коэффициентом прямой.

Частным случаем уравнения (5) является уравнение

у = к·х + в,

(6)

оно называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через точку с координатами х₀ = 0, у₀ = в, т. е. отсекает от оси Оу отрезок равный в.

Для получения уравнения (5) воспользуемся уравнением (3). Выберем в качестве направляющего вектора взять с координатами и , то оно примет вид: . Разрешая это уравнение относительно у – у₀, получим у – у₀ = tg α · (х – х₀) или уравнение вида (5).

	Если в уравнении (5) к считать произвольным, но не равным ∞, то оно определяет пучок прямых (рис.21), проходящих через данную точку (х0, у0). При α = (к = ∞) прямая
рис.21

параллельна оси Оу и имеет вид х = х₀.

Пусть одна из прямых образует с осью Ох угол α, а другая – β, причем α < β. Тогда угол между ними φ будет равен α – β.

	(рис.22). Откуда tg φ = tg (α – β) = . Обозначив tg φ = к, tg α = к1, tg β = к2, это выражение можно записать следующим образом: tg φ=к= . (7)
рис.22
Если указанные прямые коллинеарны, то φ = 0, что влечет

за собой равенство нулю коэффициента к в выражении (7). Но

дробь равна нулю, когда числитель обращается в ноль.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов к₁ и к₂ (или к₂ = -1 / к₁ ).

Если же прямые взаимно перпендикулярны, то φ = и коэффициент к обращается в бесконечность (tg φ = ∞). При этом знаменатель дроби (7) обращается в ноль.

Условием перпендикулярности двух прямых является равенство к₁·к₂ = -1.

1.6 Уравнение прямой в нормальной форме.

х·cos α + y·sin α – p = 0,

(8)

где cos α и sin α (или если обозначить - α = β, тогда cos β) – координаты единичного вектора нормали к рассматриваемой прямой, р – расстояние от начала координат до прямой.α

Чтобы получить уравнение (8), из начала координат опустим на прямую L перпендикуляр ОА равный р (рис.23). На этом перпендикуляре отложим отрезок ОВ, соответствующий единичному вектору нормали: . Где бы ни находилась

	текущая точка М (х, у) прямой L, проекция радиус вектора на направление вектора нормали будет равна р – длине перпендикуляра ОА (см. рис.23). Из определения скалярного произведения двух векторов имеем:
рис.23

Или в скалярной форме,

х·cos α + y·sin α = p,

что соответствует уравнению (8).

Расстояние d от произвольной точки К (х₀, у₀) до прямой L, заданной в нормальной форме, находится по формуле:

d =│х0·cos α + y0 sin α - p│.

(9)

Действительно, если точка К расположена выше прямой L, то расстояние от неё до начала координат равна p + d, если ниже p – d (см. рис.23). Проведем через точку К прямую параллельную L и запишем её в нормальной форме:

х·cos α + y·sin α – (p ± d) = 0.

Так как точка К (х₀, у₀) лежит на этой прямой, то её координаты обращают данное уравнение в тождество, и мы получаем формулу (9).

Если прямая задана в общем виде Ax + By + C = 0, то чтобы записать её в нормальной форме, надо все её члены умножить на нормирующий множитель:

 =

(10)

Знак в выражении (10) выбирается таким образом , чтобы расстояние р было положительным.

Пример. Записать прямую 2х – 3у + 1 = 0 в нормальной форме.

Решение. Вычислим нормирующий множитель:

 = .

Выбирая знак и умножая все члены уравнения прямой на

нормирующий множитель: х + у - = 0.

Здесь cos α = , cos β = , p = .

С учетом сказанного, расстояние от точки К (х₀, у₀) до прямой Ax + By + C = 0 примет следующий вид:

d = .