Аналитическая геометрия

Любая кривая (прямая, плоскость, поверхность) состоит из множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнению этой кривой. Поэтому, чтобы написать уравнение данной кривой, необходимо установить связи между её текущими координатами – М (x, y, z). Говорят, что кривая проходит через заданную точку, или точка лежит на кривой, если её координаты, будучи подставлены в уравнение кривой, обращают его в тождество.

Пример. Точка О (0, 0) не принадлежит кривой x² + y² =4, а

точка А (1, ) принадлежит этой кривой, так как 0² + 0²≠ 4, а 1² + ( )² = 4.

Любая кривая на плоскости делит всю числовую плоскость на три части. Подстановка в уравнение координат точек

рис. 18 а	рис. 18 б

расположенных по разные стороны от кривой дает различные знаки неравенства, и только координаты точек лежащих на самой кривой обратят её уравнение в тождество.

В приведенном выше примере все точки лежащие внутри окружности задаются неравенством x² + y² < 4 (0² + 0² < 4) а лежащие вне окружности x² + y² > 4 (рис.18).

Аналогично в трехмерном случае: любая поверхность делит числовое пространство на три подобных множества.

В данном пособии мы будем преимущественно рассматривать ту часть аналитической геометрии, где с успехом применяется векторная алгебра.

1. Уравнения прямой на плоскости

Направляющим вектором прямой называется всякой не нулевой вектор лежащий на этой прямой или прямой параллельной ей. Этот вектор, как и следует из его названия, показывает направление прямой. Обозначим его = {l, m, n}

рис.19

Вектором нормали прямой (или плоскости) называется вектор, перпендикулярный данной прямой (или плоскости). Обозначим его (рис.20).

Ни направляющий вектор прямой, ни её вектор нормали не определяют прямую однозначно.

Приведем виды уравнений прямой и, в некоторых случаях, покажем, как данное уравнение может быть получено.

рис.20

1.1 Уравнение прямой проходящей через данную точку М₀ (х₀, у₀), перпендикулярно её вектору нормали (А,В) имеет вид:

А·(х – х0) + В·(у – у0) = 0

(1)

Данное уравнение получается следующим образом. Пусть М (х, у) – текущая точка искомой прямой, а (А,В) – её вектор нормали (рис.20). Где бы ни находилась текущая точка М вектор {х – х₀, у – у₀} всегда будет находиться на прямой. По условию вектор перпендикулярен вектору . Поэтому их скалярное произведение равно нулю · = 0. В координатной форме это уравнение примет вид (1).

1.2 Общее уравнение прямой

А·х + В·у + С = 0,

(2)

где А и В есть координаты её вектора нормали.

Получается если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить постоянную величину -Ах₀ - Ву₀ через С.

1.3 Уравнение прямой проходящей через данную точку м0 (х0, у0), параллельно её направляющему вектору .

.

(3)

Пусть М (х, у) – текущая точка а М₀ (х₀, у₀) фиксированная

	точка искомой прямой. И пусть направляющий вектор имеет координаты {l, m}. Тогда в силу коллинеарности векторов и = {х – х0, у – у0 } их
рис.21

координаты пропорциональны (рис.21).

Уравнение вида (3) называется каноническим уравнением.

В случае когда даны две точки искомой прямой М₀ и М₁, качестве направляющего вектора может быть выбран вектор {х₁ – х₀, у₁ – у₀ }. При этом уравнение (3) примет следующий вид.

1.4 Уравнение прямой проходящей через две данные точки М₀ и М₁.

,

(4)

где (х₀, у₀) и (х₁, у₁) координаты соответствующих точек.