5. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением двух векторов называется третий вектор определяемый следующим образом (рис.16):

1. ,

2. , ,

3. векторы после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу как орты , соответственно.

Векторное произведение обозначается .

Согласно школьной формуле площадь параллелограмма равна произведение двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Таким образом, первая часть определения дает нам важное

рис.16

свойство: длина вектора равна площади параллелограмма построенного на векторах (рис.16). Перечислим основные свойства векторного произведения:

1. = ;

2. = 0 если = 0, либо = 0, либо ;

3. ;

4. .

Из свойства б следует условие коллинеарности двух векторов: два ненулевых вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю (справедливо и обратное утверждение).

При определении умножения вектора на число мы отмечали, что если два вектора и коллинеарны и , то существует число к такое, что . В координатной форме условие коллинеарности примет следующий вид:

Пример. Векторы {2, -1, 3} и {6, -3, 9} коллинеарны, так как их координаты пропорциональны (к = 3).

Пусть даны два вектора в виде разложения по ортам = х₁ + у₁ + z₁ и = х₂ + у₂ + z₂ . Тогда, перемножая их векторным образом мы получаем выражение векторного произведения двух векторов через их координаты посредством определителя, где элементами первой строки являются векторы , вторая строка состоит из координат первого вектора, а третья – из координат второго, т. е.

Данный определитель проще вычислять разложением по элементам первой строки.

Пример.Найти векторное произведений векторов {3,4,-2} и {-5, 1, 1}.

Решение:

= .

6. Смешанное произведение

Смешанным произведением (иногда называют скалярно-векторным) векторов и называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. ( )· , и обозначается . Результатом вычисления смешанного произведения является число модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах или, не трудно показать, шести объемам пирамиды построенной на этих векторах рис.17 (серым цветом обозначен объем, занимаемый пирамидой по отношению к объему параллелепипеда, обозначенного пунктирными линиями), т. е.

рис.17

Перечислим основные свойства смешанного произведения:

1. ( )· = 0 если:

   1. Хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю (т.е. = 0 или = 0 или = 0).

   2. Два из перемножаемых вектора коллинеарны.

   3. Три ненулевых вектора компланарны.

Из данного свойства вытекает следующее утверждение:

необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенству нулю их смешанного произведения ( = 0).

2. ;

3. = = ;

4. = ; = ; = .

Пусть даны три вектора в виде разложения по ортам:

= х₁ + у₁ + z₁ , = х₂ + у₂ + z₂ и = х₃ + у₃ + z₃ . Тогда, смешанное произведение записанное через координаты перемножаемых векторов имеет вид:

Пример. Найти смешанное произведений векторов

= - + , = + + и = 2 + 3 .

Решение. Составим соответствующий определитель.

.