2. Разложение вектора по базису. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.

Два вектора являются линейно зависимыми, если один может быть выражен через второй, т. е. найдется такое вещественное число к, при котором выполнялось бы равенство . Считается что коллинеарен любому вектору. Система любых двух неколлинеарных векторов линейно независима (поэтому не содержит ) и может быть выбрана базисом.

Вектор , лежащий в одной плоскости с двумя линейно независимыми векторами, например, и , является их линейной комбинацией.

рис.12

Как показано на рис.12 = = = к₁ · + к₂ · (говорят, что вектор разложен по векторам и ). Доказательство единственности разложения приведено .

Выберем в качестве векторов и два вектора единичной длины совпадающие с положительными направлениями осей Ох и Оу, соответственно. Такие векторы называются ортами и обозначаются (для оси Ох), (для оси Оу), (для оси Оz), а разложение по ним – разложение по ортам.

Тогда

= х + у ,

где х, у – некоторые числа называемые коэффициентами разложения.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен . Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и их длины равны единице.

Аналогично для трех векторов имеем: любой вектор в пространстве можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. При выборе другой тройки векторов (другого базиса) коэффициенты разложения того же вектора будут другими. В этом случае разложение произвольного вектора по ортам имеет вид:

= х + у + z .

Коэффициенты разложения равны проекциям вектора на соответствующие оси координат

х = а_х, у = а_у, z = a_z

и называются координатами вектора.

Проекцией вектора на ось произвольного направления (l) называется длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из вершины вектора на эту ось, взятого со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает или нет “проекция направления” вектора с направлением оси. Она равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью (рис.13).

Если координаты начала и конца вектора соответственно равны x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂, то координаты самого вектора определяются следующим образом:

а_х = x₂ – x₁, а_у = y₂ - y₁, a_z = z₂ - z₁.

Этот вектор можно записать в полном виде

= (x₂ – x₁) + (y₂ - y₁) + (z₂ - z₁)

или кратко

= {x₂ – x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁}.

рис.13

Рассмотрим три правила, позволяющие по координатам данных векторов найти координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соотствующей координаты вектора на это число.

Пример. Пусть даны векторы {3, 2, -1}, {0, 4, -3} (т. е. указаны их координаты) и число к=2. Тогда = {3, 6, -4}, = {3, - 2, 2}, = {6, 4, -2}, 3 – 2 = {9, -2, 3}.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется радиус-вектором данной точки и обозначается . Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора. Всякий вектор может быть выражен посредством радиус-векторов.

рис.14

На рис.14 приведен в качестве примера вектор произвольный = .