
- •Введение
- •Векторная алгебра
- •1. Векторы. Линейные операции над векторами.
- •2. Разложение вектора по базису. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.
- •3. Длина и направление вектора.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •5. Векторное произведение векторов.
- •6. Смешанное произведение
- •Аналитическая геометрия
- •1. Уравнения прямой на плоскости
- •1.3 Уравнение прямой проходящей через данную точку м0 (х0, у0), параллельно её направляющему вектору .
- •1.5 Уравнение прямой, преходящей через данную точку в заданном направлении.
- •1.6 Уравнение прямой в нормальной форме.
- •1.7 Уравнение прямой в отрезках на осях координат:
- •2.Уравнения плоскости
- •2.2 Общее уравнение плоскости.
- •2.3 Уравнение плоскости в нормальной форме.
- •3.Уравнения прямой в пространстве
- •4.Задачи на прямую и плоскость
- •2. Найти угол между двумя прямыми:
- •На плоскости.
- •В пространстве.
- •3. Найти угол между двумя плоскостями.
- •4. Найти угол между прямой и плоскостью.
- •4. Грань а1а2а3 будем рассматривать как треугольник, построенный на векторах (-2, 3, 0) и (-2, 0, 6). Тогда, как
Ф
ЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНСТВО
ПО КУЛЬТУРЕ И КИНЕМАТОГРАФИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Санкт-Петербургский государственный
университет кино и телевидения"
__________________________________________________________________________
Кафедра математики и информатики
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Методические указания к выполнению
расчетно - графической работы для студентов
очного и заочного отделения факультетов АВТ и ПСКТ
САНКТ- ПЕТЕРБУРГ
2008
Составители: доцент Самигулин И. З.,
ст. преп. Меркушин А. В.
ст. преп. Заремская Е. А.
Рецензент: доцент Бегун Е. Н.
Рекомендовано к изданию в качестве методического пособия кафедрой математики и информатики для студентов факультетов АВТ и ПСКТ для очного и заочного отделения.
Протокол № от г.
Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, 200 г.
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов как очного, так и заочного отделения факультетов АВТ и ПСКиТ Санкт-Петербургского университета кино и телевидения. Они призваны помочь студентам справиться с решением расчетно-графической работы (РГР) “Пирамида”, задания к которой приведены в конце данных методических указаний, а так же с решением задач по теме “Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии”. Овладение этими разделами математики вызвано потребностями в них механики, физики, оптики и ряда других спецдисциплин. Многие важные понятия физики и механики (скорость, ускорение, сила, момент) являются векторными величинами. Именно в соответствии с потребностями физики приходится рассматривать абстрактный вектор и операции над векторами. Операции над абстрактными векторами явились естественным обобщением операций над величинами, рассматриваемыми в физике. На базе векторной и линейной алгебры построена аналитическая геометрия. Развитие векторной алгебры было связанно с развитием векторного и тензорного анализа. Все это обусловило прогресс в развитии математики и её приложений к естественным наукам.
В настоящие методические указания включены такие разделы как: векторы и линейные операции над векторами, понятие базиса, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, плоскость, прямая.
Векторная алгебра
1. Векторы. Линейные операции над векторами.
Вектором называется направленный отрезок прямой, заданной длины. Направление вектора (от начала к концу) на
рис.1
рисунках
указывается стрелкой (рис.1). Если на
плоскости или в пространстве точка А
является началом вектора, а точка В –
его концом, то сам вектор обозначается
символом
или
одной строчной буквой, например
,
а его длина (модуль, величина вектора)
-
или
.
Если
= 1, то вектор
называется единичным
и
обозначается
.
При совпадении точек А и В вектор
называется нулевым
вектором.
Нулевой вектор не имеет определенного
направления, а его длина, соответственно,
равна нулю.
Два
ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Если при этом их
направления совпадают, то они называются
сонаправленными
(
),
например, рис.2 и рис.3. Если нет –
противоположно
направленными
(
),
рис.4.
|
|
рис.2 |
|
|
|
рис.3 |
рис.4 |
Векторы, лежащие в одной плоскости или расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.
Векторы
называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны,
т. е.
если
и
.
От любой точки, в том числе и от начала
координат, можно отложить вектор равный
данному и при том только один. Два
ненулевых вектора называются
противоположными,
если их длины равны и они противоположно
направлены (рис.5).
рис.5
Суммой
двух
векторов
и
называется третий вектор
рис.6 |
|
на рис.6. Следует заметить, что начало вектора всегда может быть совмещено с концом вектора при помощи параллельного переноса (рис.7).
|
рис.7 |
Наряду с правилом треугольника часто пользуются, равносильным ему, правилом параллелограмма: если векторы и
рис.8 |
приведены
к общему началу и на них построен
параллелограмм
(см. рис.8), то сумма
Общее правило сложения векторов |
(правило
многоугольника): чтобы построить
сумму векторов
нужно начало второго вектора
совместить с концом первого вектора
,
начало третьего
– с концом второго
и т. д. Суммарным будет вектор,
соединяющий начало первого вектора с
концом последнего. На рис.9 приведен, в
качестве примера, случай для n
= 4.
|
рис.9 |
Разностью
двух
векторов
и
называется
вектор, который в сумме с вектором
составляет
вектор
.
В
качестве примера можно обратиться к
рис.6, где вектор
будет являться разностью векторов
и
.
Вычитание двух векторов и можно представить через сложение вектора и вектора обратного вектору , т. е.:
=
.
Произведением
вектора
на вещественное число к
называется такой вектор
,
который удовлетворяет следующим
требованиям:
,
коллинеарен ,
и сонаправлены, если к > 0 и противоположно направлены, если к < 0. При к = 0, = 0.
На рисунках 10 и 11 приведены случаи умножения положительного к на вектор .
0 < к < 1 |
к > 1 |
|
|
рис.10 |
рис.11 |
В частности, если к = 1 / , то полученный вектор будет иметь длину равную единице и направление его совпадет с направлением вектора , т. е. мы получаем = / . Нахождение называется нормированием вектора.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.