4. Инвариантность формы полного дифференциала.

Если х и у – независимые переменные, то полный дифференциал функции имеет вид

(4)

Пусть и , тогда и функция z является функцией независимых переменных u и v:

По определению полного дифференциала на основании равенства (4) имеем

Учитывая формулы (3), получим

Раскроем скобки и вынесем за скобки и :

;

Учитывая, что

,

получим

(5)

Сравнивая равенства (4) и (5) делаем вывод.

Дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли её аргументы х и у независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Таким образом, для функции 2-х переменных имеет место свойство инвариантности формы полного дифференциала.

Для функции 2-х переменных имеют место правила дифференцирования, выраженные следующими формулами:

1)

2)

3) , где

4)

5) , где ,

где u,v,w – функции любого числа переменных.

Пример.

; ;

Решение.

( - ) ( - )

Или, учитывая, что

,

( ) - ( )=

=( - ) ( - ) .

Заключение.

Важной частью исследования функций является локальное исследование, под которым понимается сравнение значения функции в данной точке со значениями функции в точках, близких к данной. Всё изложение данной лекции было проведено на примере функции двух переменных, это позволяет сделать обсуждение геометрически наглядным. Следует заметить, что каждое утверждение о функции двух переменных, которое было приведено, без труда обобщается на случай функции п-переменных.