2. Применение полного дифференциала в приближённых вычислениях.
а) Применение полного дифференциала для вычисления функций.
Из определения
полного дифференциала функции
с точностью до бесконечно малых высшего
порядка малости относительно
можно записать приближённое равенство:
или
+
,
отсюда
+
+
или
+
Последняя формула
используется в приближённых вычислениях
для нахождения значений функции
,
близких к значению функции
.
+
.
Пример: Вычислить 1,033,001
=
,
х0=1,
у0=3,
+
=
+
,
=3·12=3,
=13·ln1=0
=3·0,03+0·0,001=0,09
=13=1
Таким образом 1,033,001 1+0,09=1,09
б) Применение дифференциала при оценке погрешности вычислений.
Пусть некоторая
величина u
является функцией величин х
и у,
т.е.
.
При определении величин х
и у
были допущены погрешности ∆х
и ∆у
соответственно.
Тогда значение величины u, вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с погрешностью
∆и=
Но
Значения частных производных и значения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными. Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство:
Если через
и
обозначить
и
- границы для абсолютных погрешностей
величин х
и у,
то максимальная абсолютная погрешность
величины и
примет вид
отношение абсолютной погрешности ∆и величины и к приближенному значению и этой величины называется относительной погрешностью этой величины.
Обозначение
.
Максимальной
относительной погрешностью величины
и
называется отношение максимальной
абсолютной погрешности
к абсолютной величине и
и обозначается
Следовательно
=
Учитывая, что
,
будем иметь
или
Максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции.
Пример: Наклонная дальность НД связана с высотой полета h и углом
визирования β зависимостью:
НД=
Условия определения НД: h=10000м., β=600. Определить
максимальную абсолютную погрешность и максимальную
относительную погрешность при изменении НД, если высота
полета измеряется с максимальной абсолютной погрешностью
=150м.,
а угол визирования – с максимальной
абсолютной
погрешностью
рад.
Решение:
;
=
;
Итак,
м.
%
3. Дифференцирование сложной функции.
а) Пусть
- функция двух переменных х
и у,
каждая из которых является функцией
независимой переменной t,
т.е.
,
.
Тогда функция
является сложной функцией
независимой переменной t.
Переменные х
и у
являются промежуточными аргументами.
Предположим, что
и
дифференцируемые функции. Придадим
переменной t
приращение Δt,
тогда
и
получат соответственно приращения Δх
и Δу
и приращение
Δz
будет иметь вид:
,
где
и
Разделим Δz на Δt:
и перейдём к пределу при Δt→0:
=
=
.
Из дифференцируемости
функций
и
,
следует их непрерывность, т.е.
и
.
Следовательно,
;
.
Таким образом,
(1)
Пример.
,
,
Решение.
;
;
;
Итак,
-
Замечание.
Если
,
где
,
то
- сложная функция одной переменной.
Тогда
или
(2)
Производную (2) называют полной производной функции .
Пример.
,
Решение.
;
;
Проверка. Имеем
=
.
б) Пусть
,
где
и
.
Функция
является сложной функцией независимых
переменных u
и v,
а переменные х
и у
называют промежуточными аргументами.
Предположим, что
все функции дифференцируемые. Чтобы
найти
,
надо считать, что v=const.
Тогда х и
у становятся
функциями только одной переменной и мы
приходим к рассмотренному случаю.
Разница только в том, что
и
заменяются частными производными
и
.
Таким образом,
(3)
Пример.
;
;
Решение.
;
;
;
;
Имеем
=
-
=
-