Полный дифференциал. Введение.
Пусть дана функция
одной переменной
,
имеющая производную. Дифференциал этой
функции вычисляется по формуле
.
Таким образом понятие дифференциала
определено для всякой функции, имеющей
производную, и поэтому выражение «функция
дифференцируема» означает как то, что
она имеет производную, так и то, что она
имеет дифференциал.
В случае функции нескольких переменных дело обстоит по-другому: существование частных производных является необходимым условием дифференцируемости функции в точке, но не является достаточным условием. Дифференцируемость имеет место, если дополнительно потребовать непрерывность частных производных.
1. Полное приращение функции. Полный дифференциал.
Придадим аргументу
приращение
,
а аргументу
приращение
,
получим полное приращение функции
,
которое обозначается
:
=
-
Предположим, что
в точке
имеет непрерывные частные производные
и
.
Выразим полное
приращение
через частные производные. Для этого в
правой части записанного равенства
вычтем и прибавим
:
=
-
+
-
Выражения
-
и
-
можно рассматривать как разности 2-х
значений функций одной переменной.
Применяя к этим разностям теорему
Лагранжа, получим
-
=
,
где
;
-
=
,
где
.
Тогда
=
+
.
Если
и
-
непрерывны, то
;
,
тогда
где
и
,
если
Следовательно,
=
+
+
Сумма
является бесконечно малой высшего
порядка относительно
:
и
,
так как
и
-
бесконечно малые, а
и
.
Выражение
+
-
линейное относительно
и
и
представляет собой главную часть
приращения
,
отличаясь от
на бесконечно малую высшего порядка
относительно
.
Определение: Главная часть полного приращения функции ,
линейная относительно приращений аргументов и ,
называется полным дифференциалом этой функции.
Обозначается
полный дифференциал
или
.
По определению
=
или
=
=
Учитывая, что
,
,
можно записать
=
или
=
.
Определение:
Функция
полное
приращение которой в точке
может быть представлено в виде
= + + ,
называется дифференцируемой в данной точке.
Из определения следует, что наличие у функции полного дифференциала обеспечивает существование у этой функции частных производных в точке .
Из существования у функции в некоторой точке частных производных не следует её дифференцируемость в этой точке, т.е. наличие у этой функции полного дифференциала. Условие дифференцируемости функции двух переменных устанавливает следующая теорема.
Теорема: Если функция имеет в точке М непрерывные
частные
производные
и
,
то в этой точке функция
дифференцируема. Из дифференцируемости функции
в точке М следует
1) её непрерывность в этой точке;
2) существование в этой точке её частных производных и
.
Пример: Найти
функции
.
=
=
;
=
=
.
Выражения
или
и
или
называют частными дифференциалами по
х
и по у
соответственно функции
в точке
и обозначают
и
или
и
.
Следовательно,
=
+
или
=
+
.