Дифференциальные уравнения и ряды - Тищенко / Default

2. Ряды

1. Понятие числового ряда. Сходящийся ряд, его сумма.

2. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

3. Основные свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.

4. Признаки Даламбера и Коши, их предельные формы.

5. Интегральный признак Коши-Маклорена.

6. Ряд Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

7. Поведение положительной и отрицательной составляющих ряда в случае абсолютной и условной сходимости.

8. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана.

9. Почленное умножение абсолютно сходящихся рядов.

2. Последовательности и ряды функций. Область сходимости. Равномерная сходимость.

3. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности и ряда (без док-ва).

2. Достаточный признак равномерной сходимости ряда (Признак Вейерштрасса).

3. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций и суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленный переход к пределу в функциональных рядах.

2. Условия предельного перехода под знаком производной и почленного дифференцирования ряда.

3. Понятие степенного ряда. Радиус и интервал сходимости степенного ряда (формула Коши- Адамара).

4. Первая теорема Абеля. Вторая теорема Абеля (формулировка).

5. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.

6. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

7. Разложение функции в степенной ряд Тейлора. Единственность разложения.

20. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

21. Собственные интегралы, зависящие от параметра, их непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость по параметру.

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интеграла относительно параметра.

3. Непрерывность несобственного интеграла по параметру, условия интегрируемости и дифференцируемости по параметру.

2. Применение теории интегралов, зависящих от параметра.

3. Периодические функции. Четные и нечетные функции. Ортогональная система функций.

4. Ортогональность тригонометрической системы функций.

5. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Разложимость функции в ряд Фурье (без доказательства).

6. Примеры разложений в ряд Фурье. Разложение на отрезке [0,1 ].

7. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Задача о наименьшем квадратичном отклонении. Неравенство Бесселя.

8. Полнота ортогональной системы функций. Равенство Парсеваля.

9. Условие равномерной сходимости ряда Фурье (без доказательства).

10. Понятие об интеграле Фурье.