ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (В4)
Ряды и дифференциальные уравнения
1. Дифференциальные уравнения
-
Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ) и их решениях. Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной , и его решение. Задача Кошм. Понятие частного решения, интегральной кривой, общего решения, общего интеграла.
-
Простейшие типы уравнений, решаемые в квадратурах: Уравнения с разделяющимися | переменными.
-
Однородные уравнения.
4. Линейные ОДУ первого порядка. Решение неоднородного линейного уравнения первого порядка методом вариации постоянной. Уравнение Бернулли.
-
Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним. Интегрирующий множитель.
-
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения у ' -f(x,y) (без доказательства).
-
Особые решения дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной, особые интегральные кривые. Уравнения, не разрешенных относительно производной. Уравнения огибающей семейства кривых.
-
Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
-
Дифференциальное уравнение п- ного порядка. Постановка задачи Коши для уравнений, разрешенных относительно старшей производной.
-
Формулировка теоремы Пикара для уравнения п- ного порядка.
-
Частное и общее решение уравнения. Промежуточные интегралы. Простейшие уравнения, интегрируемые в квадратурах или допускающие понижение порядка.
-
Линейные дифференциальные уравнения п-ного порядка. Линейное однородное дифференциальное уравнение п-ного порядка. Свойства решений.
13. Определитель Вронского. Условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения.
-
Существование фундаментальной системы решений и построение общего решения однородного уравнения.
-
Линейное дифференциальное уравнение п- ного порядка с постоянными коэффициентами и его общее решение. Характеристическое уравнение.
16. Фундаментальная система решений однородного уравнения в случае действительных различных корней и в случае кратных корней характеристического уравнения.
-
Фундаментальная система решений однородного уравнения в случае комплексных корней: различных и кратных.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальными правыми частями. Метод неопределенных коэффициентов..
-
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-ного порядка и его общее решение. Метод вариации постоянных.
-
Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Запись системы и решения в векторном виде. Решение систем линейных ДУ сведением к одному уравнению старшего порядка. (Метод исключения)
-
Однородные системы линейных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений и ее свойства.
-
Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации постоянных.
-
Системы однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, построение фундаментальной системы решений.
Неоднородные системы со специальными правыми частями ( метод неопределенных коэффициентов).