Векторная форма записи

Система уравнений может быть записана в векторном виде:

A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_n =B

Матричная форма записи

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместность см выше

15-ый вопрос

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Далее не знаю----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16-ый вопрос

17-ый вопрос

18-ый вопрос

Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице размеров базисный минор расположен в первых строках и первых столбцах. Рассмотрим определитель

который получен приписыванием к базисному минору матрицы соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых и этот определитель равен нулю. Если или , то определитель содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же и , то определитель равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем