Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица  , полученная из исходной матрицы   конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной. Это обозначается  .

10-ый вопрос (1-ая часть)

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. detA ≠ 0 .

11-ый вопрос

 (союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Где:

 — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;  — алгебраические дополнения исходной матрицы;  — элементы исходной матрицы.

Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A  существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную A , т. е. A A   AA    E.  По  свойству  10 определителей имеем D(A A)    = D(A )D(А)  D(E) = 1 и, следовательно, D(А)   0.

Достаточность. Пусть D(А)   0. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка  , называемую присоединенной. Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы  , транспонированной к матрице А:

.

Легко показать, что

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A , то произведения A A и AA   равны

единичной матрице E  n-го порядка: A A   AA    E.

12-ый вопрос

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы) Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа   такие, что  . Следовательно, столбец  является линейной комбинацией столбцов   матрицы  . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что  .

]Достаточность

Пусть  . Возьмем в матрице   какой-нибудь базисный минор. Так как  , то он же и будет базисным минором и матрицы  . Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы   будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы  . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы  .

13-ый вопрос

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

 — её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть   (т.е. система (2) совместна), тогда:

• если  , где   — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

• если  , то общее решение системы (2) имеет вид  , где   — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением,   — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

14-ый вопрос

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) влинейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь   — количество уравнений, а   — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].