1-ый вопрос

1. Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых,действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. 

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример. 9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)

Пример.

Ясно, A'=-A

Матрицы одинакового размера называют одинаковыми ,если попарно равны их соответствующие элементы.

Пусть   и   — матрицы одинаковых размеров  . Матрица   тех же размеров   называется суммой матриц   и  , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц   и  :      . Сумма матриц обозначается  . Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:

Произведением матрицы   на число   называется матрица   тех же размеров, что и матрица  , каждый элемент которой равен произведению числа   на соответствующий элемент матрицы 

Умножение матриц (обозначение:  , реже со знаком умножения  ) — есть операция вычисления матрицы  , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице   должно совпадать с количеством строк в матрице  , иными словами, матрица   обязана быть согласованной с матрицей  . Если матрица   имеет размерность  ,   —  , то размерность их произведения   есть  .

Транспонированная матрица

С каждой матрицей   размера   связана матрица   размера   вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для   и обозначается так  .

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица  размера   при этом преобразовании станет матрицей размерностью   .

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

1.   (коммутативность сложения);

2.  (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица   (тех же размеров, что и  ):  ;

4. существует матрица  , противоположная матрице  ;

5. ;

6. ;

. 

2-ой вопрос

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение:  , реже со знаком умножения  ) — есть операция вычисления матрицы  , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице   должно совпадать с количеством строк в матрице  , иными словами, матрица   обязана быть согласованной с матрицей  . Если матрица   имеет размерность  ,   —  , то размерность их произведения   есть  .

Свойства умножения матриц:

1.ассоциативность (AB)C = A(BC); 2.некоммутативность (в общем случае): AB   BA;3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

3-ий вопрос

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Теорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная. Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В0. Тогда, согласно определению 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB0= E и BA = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB0) = (BA)В0= EB0= B0, т.е.матрицы B и B0 совпадают. I

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица a имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.Е. DetA ≠ 0 . Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

С помощью матрицы алгебраических дополнений

 — транспонированная матрица алгебраических дополнений

4-ый вопрос

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителемсостоит в следующем.;

, где   — основная матрица системы,   и   — столбцы свободных членов и решений системы соответственно

Умножим это матричное уравнение слева на   — матрицу, обратную к матрице  : 

Так как  , получаем  . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

КРАМЕРА ПРАВИЛО :если определитель Dквадратной системы линейных уравнений 

не равен нулю, то эта система имеет единственное решение и это решение находится по формулам 

Здесь   - определитель, получаемый из Dзаменой k-то столба на столбец свободных членов.

5-ый вопрос Минор   матрицы   ― определитель такой квадратной матрицы   порядка   (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице   на пересечении строк с номерами   и столбцов с номерами  .

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. 

Теорема (о базисном миноре): Пусть   — базисный минор матрицы  , тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы   есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Если   — квадратная матрица, и  , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Вторая часть 6-ого вопроса (Следствие 12.1. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.) Н е о б х о д им о с т ь. Если квадратная матрица A невырождена, то ее ранг равен ее порядку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме 12.5 о базисном миноре они линейно независимы. До с т а т о ч н о с т ь. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы A являются линейно

независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейными комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы A, согласно теореме12.4, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы A являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным минором и, следовательно, согласно определению 12.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица A невырождена.

7-ой вопрос

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями строк называют:

1 перестановка местами любых двух строк матрицы;

2 умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

3 прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

8-ой вопрос

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице   найден ненулевой минор  -го порядка  . Рассмотрим все миноры  -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор  ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен  . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

9-ый вопрос

В линейной алгебре матрица считается матрицей ступенчатого вида по строкам если

• все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

• ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам: