19)Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.

Дифференциальное уравнение вида

                             (1)

где  , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если  , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

                                   (2)

и найти его корни  . Каждому простому корню   соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид  , а каждому корню  кратности k  - решения  . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

,

где   произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме  и в случае комплексных корней  . Для каждой пары комплексно сопряженных корней   в формулу общего решения включаются слагаемые

,

если эти корни простые, и слагаемые

,

если каждый из корней   имеет кратность k. Здесь   - многочлены степени k-1.

20)Интегрирование линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, когда неоднородность квазимногочлен.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = f(x).

Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — постоянные десйствительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.

Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + ... + C_ny_n(x) + y*(x),

где С₁, С₂, ..., С_n — произвольные постоянные, y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

 

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).

Здесь M_m(x) — многочлен степени m, N_n(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в том, что частное решение уравнения

отыскивают в виде

y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx))x^r,

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n, m) с неизвестными коэффициентами,

P_k(x) = p_kx^k + p_k-1x^k-1 + ... + p₁x + p₀, Q_k(x) = q_kx^k + q_k-1x^k-1 + ... + q₁x + q₀.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx),  x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ...,   x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

 

Метод подбора применяется к ограниченному, но достаточно широкому классу правых частей, поскольку квазимногочленами являются функции вида:

M_k(x),  M_k(x)exp(αx),  M_k(x)cos(βx),   M_k(x)sin(βx),  exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).