Розв’язання

Спочатку розрахуємо сподівані доходи для обох варіантів вкладання коштів (табл. 2).

Таблиця 2

Розрахунок сподіваного доходу, грн

Можливі результати	Можливі рішення		Імовірність успіху
	Інвестиції	Банк
Успіх	40 000	10 900	0,3
Невдача	0	10 900	0,7
Сподіваний дохід	40 000 · 0,3 = 12 000	10 900
Дисперсія (2)	151 400 000	0
Ризик ()	12 304,5	0
Коефіцієнт варіації	1,03	0

Дисперсія за умов впровадження інвестиційного проекту становитиме:

² = (40 000 – 12 000)² · 0,3 + (0 – 12000)² · 0,7 = 151 400 000,

ризик —

У разі вкладання грошей у банк ризику немає.

За сподіваним доходом потрібно обрати варіант вкладання грошей в інвестиційний проект, але, якщо врахувати ризик і розрахувати коефіцієнт варіації, то більш привабливим буде варіант вкладання коштів у банк.

Побудуємо два графіки корисності доходів, відповідно, за поглядами бухгалтера (рис. 1) та директора (рис. 2), користуючись шкалою корисності (див. табл. 1).

Рис. 1. Графік корисності доходів за бухгалтером

Рис. 2. Графік корисності доходів за директором

Згідно з графіками можна дійти висновку, що директор підприємства схильний до ризику, так як його графік корисності доходів опуклий. Це також підтверджується умовою схильності до ризику:

U(M(x)) < M(U(x)),

де U(M(x)) — корисність сподіваного результату; M(U(x)) — сподівана корисність результатів.

M(x) = 12 000; U(M(x)) = 12; M(U(x)) = 30. Звідси 12 < 30.

Бухгалтер, за графіком, не схильний до ризику, оскільки його графік — увігнутий. Це підтверджується умовою несхильності до ризику:

U(M(x)) > M(U(x)).

M(x) = 12 000; U(M(x)) = 52; M(U(x)) = 30. Звідси 52 > 30.

Тепер розрахуємо сподівану корисність доходів відповідно до поглядів директора та бухгалтера. Для цього потрібно перетворити шкалу доходів на шкалу корисностей за бухгалтером та директором, користуючись відповідними графіками.

Розрахунки сподіваної корисності згідно з поглядами бухгалтера й директора подано, відповідно, в табл. 3 і табл. 4.

Таблиця 3

Розрахунок сподіваної корисності за бухгалтерОм

Можливі результати	Можливі рішення		Імовірність
	Інвестиції	Банк
Успіх	100	52	0,3
Невдача	0	52	0,7
Сподівана корисність	100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30	52

Таблиця 4

Розрахунок сподіваної корисності за директорОм

Можливі результати	Можливі рішення		Імовірність
	Інвестиції	Банк
Успіх	100	12	0,3
Невдача	0	12	0,7
Сподівана корисність	100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30	12

Висновок: За сподіваною корисністю бухгалтер запропонує вкласти гроші в банк без ризику (12 < 30), а директор — в інвестиційний проект (52 > 30).

Приклад 5.1

Підприємству потрібно визначити, яку кількість продукції необхідно випускати, щоб отримати найбільший прибуток. Рішення залежить від ситуації на ринку, тобто від конкретної кількості споживачів. Конкретна кількість споживачів наперед невідома та може бути трьох варіантів: S1, S2 i S3. Є можливими чотири варіанти випуску продукції підприємством: А1, А2, А3 і А4. Кожній парі, що залежить від стану середовища — S_j та варіанту рішення — A_i, відповідає значення функціоналу оцінювання — V(A_i, S_j), що характеризує результат дій (табл. 1).

Таблиця 1

Прибуток від реалізації продукції, тис. грн

Варіант рішення	Варіант стану середовища
	S1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0
А2	1,5	2,0	3,5
А3	3,0	8,0	2,5
А4	7,5	1,5	3,5
Імовірність стану середовища	0,25	0,55	0,20

Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутку за допомогою критеріїв: Байєса — за умов відомих імовірностей станів; Лапласа, Вальда, Севіджа — за умов повної невизначеності та Гурвіца — з коефіцієнтом оптимізму 0,6.