13. Правила сложения и умножения вероятностей

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события попарно несовместны, то справедливо равенство

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

Для произвольных событий A и B имеет место формула:

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:

Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

В частности, если события независимы, то

14. Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A|B) и читается «вероятность A при условии B», или «вероятность A при данном B».

Совместная вероятность двух событий — это вероятность их пересечения. Совместная вероятность A и B записывается или

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловная и условная вероятности. Если А и В зависимые события, то вероятность наступления события В первым (т.е. до события А) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р(В). Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А) или Р_А (В). Аналогичный смысл имеют безусловная – Р(А) и условная – Р(А/В) вероятности для события А. Теорема умножения вероятностей для двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго: Р(А и В) = Р(А) ∙Р(В/А) , (8) если первым наступает событие А, или Р(А и В) = Р(В) ∙Р(А/В), (9) если первым наступает событие В.

15. Случайная величина

При рассмотрении случайных событий иногда мы сталкивались с событиями, со­стоящими в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости (кубика) могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина Х могла принять одно из следующих возможных значений: О, 1, 2, ..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором и третьем примерах случайные величины могли принять любые из значений промежутков (а,b) и (c, d) . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение :

 Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Остановимся на дискретной случайной величине.