46.Ковариация. Ковариациялық матрица. Қасиеттері.

Коварияцияның 4 қасиетінің дәлелдеуі:

Егер және тәуелсәз кездейсоқ шамалар болса, онда

Шындығында да бұл жағдайда

Сонымен, тәуелсіз , кездейсоқ шамалары үшін болады.

кездейсоқ шамалары берілсе, онда коварияциялық матрица келесі түрде болады:

47. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері. Корреляциялық матрица.

Теорема.1.Егер , тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда олардың корреляция коэффиценті нөлге тең:

2.Әруақытта ;

3. сонда тек сонда ғана,егер қандай да бір а≠0,b-тұрақтылары табылса және болса;

Егер ρ>0 болса кездейсоқ шамалары оң корреляцияланған,ал ρ<0 болса теріс корреляцияланған кездейсоқ шамалар деп аталады.

Корреляциялық матрица деп, қаралатын кездейсоқ шамалардың корреляция жұбының коэффициенттерi болып табылатын матрицаны қарастырамыз. Корреляциялық матрица симметриялы және оның бас диагоналында әрқашанда бір тұрады.

Сонымен, корреляция коэффиценті берілген және кездейсоқ шамаларының тәуелдәләк өлшемі ретінде қарастыруға болады екен: егер олар тәуелсіз болса, онда ρ=0;егер ρ=±1 болса, онда кездейсоқ шамалар бір біріне сызықты тәуелді және де ρ=1 болса -мен бірге монотонды өседі,ρ=-1 болса -мен бірге монотонды кемиді.

48. Гаустік кездейсоқ вектор және оның қасиеттері.

Теорема: Гаустік кездейсоқ вектор. Онда оның келесі тұжырымдары болады:

1. - тәуелсіз кездейсоқ шамалар,

2. - корреляцияланбаған кездейсоқ шамалар (cov=0),

3. - диагональды.

Ескету: - нормальды үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, онда - тәуелсіз - корреляцияланбаған.

Дәлелдеу. Келесі арақатынастар айқын болады: 1) 2) 3)

3) 1) шығатынын көрсетейік.

={ } = - тәуелсіз.

Теорема: 1) _{, ковариациялық матрицасы және бар} гаустік кездейсоқ вектор. Онда кездейсоқ вектордың .

тығыздығы болады.

2) Кез келген және кез келген -( _{)үшін кездейсоқ гаустік вектор болады және онда} және .

49. Чебышев теңсіздігі. Дәлелдеу.

Теорема. Егер ξ кездейсоқ шамасының дисперсиясы D( ξ) бар болса, онда кез келген ε>0 саны үшін

(1) -теңсіздігі орындалады.

Чебышев теңсіздігі айырымының абсолют шамасын ықтималдық тұрғыдан бағалауға мүмкіндік береді.

1. -теңсіздік

(2) - теңсіздігімен парапар, өйткені

Дәлелдеу. ξ шамасының тығыздық функциясын f(x) арқылы белгілесек:

Сөйтіп (2) – теңсіздік дәлелденді

Кез – келген кездейсоқ шамада шекті дисперсия болып, кез – келген болғанда, онда мынадай теңсіздік орындалады:

. (2.3.1)

Бұл Чебышев теңсіздігі деп аталады.

50. Марков теңсіздігі. Дәлелдеу.

Марков теңсіздігін Чербышев леммасы деп те атайды.

Теорема. Егер кездейсоқ шамасы тек қана оң мәндерді қабылдаса және математикалық күтімі бар болса, онда кез келген a оң сан үшін келесі теңсіздік орындалады:

Дәлелдеу. Теңсіздіктің дәлелдеуін кездейсоқ шамасы үшін жүргіземіз:

Соңғы теңдіктегі мынаған тең: .

Осыдан

теңдігі шығады.

Теорема дәлелденді.

Марков теңсіздігі кез келген оң кездейсоқ шамалары үшін қолданылады.