35. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі. Қасиеттері.

36. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы. Қасиеттері

Х дискретті кездейсоқ шама болса, дисперсия

формуласымен өрнектеледі. Х – үздіксіз болса, онда дисперсия

формуласымен өрнектеледі. Ал, егер де Х – тің мүмкін мәндері

[a, b] аралығында болса, онда

болады. Үздіксіз кездейсоқ шаманың дисперсиясын

формуласы бойынша есептеген қолайлы.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірін айтады:

37. Биномиаль үлестірім. Анықтамасы және сандық сипаттамалары.

АНЫКТАМА: Егер Х кездейсок шамасы 0,1,2,...n мәндерін кабылдау ықтималдығы , мундағы

ал элементтен К-дан жасалган теру саны болса, онда Х-ді Бернулли заны бойынша улескен деп айтады. Немесе бұл улестірімді биномдык деп те айтады. Бернулли заны бойынша улестірілген кездейсок шаманын математикалык үмітін табалык n – рет Бернулли тәжірибесін жургізгенде А оқиғасынын пайда болу санын Х аркылы белгіледік. Жанадан кездейсок шамалар өнгізейік.

– ші тәжиребеде пайда болса

– ші тәжиребеде пайда болмаса

Сонда Х кездейсок шамасын косындысы турінде жазуға болады, өйткені бүл косынды да турган әрбір косылныш не 0-ге, не 1-ге тен және бірлердін саны А оқиғасынын пайда болу саны канша болса сонша. Математикалык үміттін аныктамасын және онын касиеттері аркылы Х-дін математикалык үмітін есептеуге болады:

Енді х_i – нын үмітін табалык:

Сонымен (13)

38. Пуассон үлестірім. Анықтамасы және сандық сипаттамалары.

АНЫКТАМА: Егер Х кездейcок шамасы 0,1,2,…n мәндерін кабылдаса және бұл мәндері кабылдау ықтималдығы:

мундағы болса, онда Х-ті Пуассон заны бойынша улескен деп айтады.

Пуассон заны бойынша улестірілген Х кездейсок шамасы ушін:

(16)

(17)

(18)

Мұндағы Пуассон заңының параметрі деп аталады.

40. Теріс биномиальді үлестірім. Анықтамасы және сандық сипаттамалары

(n,p) параметрмен үлестірілген кездейсоқ ξ шамасы теріс биномиалды үлестірілген болады , егер

Үлестірім функциясы:

Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегінде n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болуының ықтималдығын табайық. (“табыс” ықтималдығы р).

Егер n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болса, онда ең соңғы n+k-ші сынақта “табыс” (А оқиғасы), ал одан бұрынғы n+k-1 сынақта n-1 рет “табыс”, k рет “сәтсіздік” болды(В оқиғасы) деген сөз. Сынақтар тәуелсіз болғандықтан іздеп отырған ықтималдығымыз мына формуламен анықталады. (k=0,1,2,…. ) :

(1)

(1)-үлестірім теріс биномиальды үлестірім деп аталады. Бұл үлестірімнің атауы мына теңдікке байланысты шыққан:

Соңғы теңдік (1)-үлестірімді басқаша жазуға мүмкіндік береді:

(1’)

Мына анализден белгілі формуланы

Пайдаланып былай жаза аламыз:

Яғни { } шындығында да үлестірім болады. Теріс биномиалды үлестірімді кейде Паскаль үлестірімі деп те атайды.

Ал n=1 болған кезде (1)-үлестірім геометриялық үлестірім деп аталады:

Теріс биномиалды үлестірімнің математикалық күтімі:

Теріс биномиалды үлестірімнің дисперсиясы: .Мұндағы, q=1- p.

Демек, n-ші "табысқа " дейінгі толық сынақтардың санның математикалық күтiмi мынаған тең: