Реляционная алгебра

Для манипуляции отношениями Коддом в 1970 г. был предложен набор реляционных операторов, позволяющих по одним отношениям получать другие. Каждый такой оператор является функцией (вообще говоря, частичной), аргументами и значениями которой являются отношения. Из базовых реляционных операторов можно с помощью суперпозиции образовывать сложные термы. Совокупность получаемых таким образом операций над отношениями называется реляционной алгеброй.

В этом разделе мы рассмотрим семь основных реляционных операторов, введенных Коддом в качестве базиса реляционной алгебры, и покажем, как они выражаются в терминах логики предикатов.

Теоретико-множественные операции

Первую группу реляционных операторов представляют теоретико-множественные операции:

• Объединение

• Пересечение

• Вычитание

• Декартово произведение

В лекции 1 мы рассматривали все эти операции для множеств. Особенности их использования в реляционной алгебре состоят в том, что объединение, пересечение и вычитание применяются к отношениям , имеющим одно и то же множество одинаково упорядоченных атрибутов. Пусть имеются два таких отношения R(A₁, …, A_n) и S(A₁, …, A_n). Тогда результат их объединенния - это отношение P₁= R S, содержащее все кортежи отношения R и все кортежи отношения S (кортежи, содержащиеся и в R, и в S, входят в P в одном экземпляре). Это отношение представляется формулой P₁(x₁, … , x_n)= R(x₁, … , x_n) S(x₁, … , x_n). Результат пересечения - это отношение P₂ = R \cap S, которое содержит кортежи, входящие и в R и в S. Оно представляется формулой P₂(x₁, … , x_n)= R(x₁, … , x_n) S(x₁, … , x_n). Результат разности P₃= R - S включает кортежи из R, не входящие в S. Это отношение представляется формулой P₃(x₁, … , x_n)= R(x₁, … , x_n) ¬ S(x₁, … , x_n). Декартово произведение P₄= R × S отношений R(A₁, …, A_n) и S(B₁, …, B_m) содержит кортежи, которые составлены из кортежей отношения R, продолженных кортежами отношения S. Список атрибутов P₄ включает все атрибуты отношений R и S: (A₁, …, A_n, B₁, …, B_m). Если у R и S имеются общие атрибуты, то они переименовываются. Обычно перед именем атрибута общего атрибута A_i=B_j помещается через точку имя его отношения, R.A_i и S.B_j. Результат декартового произведения задается формулой P₄(x₁, …, x_n, y₁, … , y_m) = R(x₁, … , x_n) S(y₁, … , y_m) (мы предполагаем, что все переменные x_i и y_j разные)

Специальные реляционные операторы

К специальным реляционным операторам относятся:

• Выбор

• Проекция

• Соединение

• Деление

Оператор выбора, примененный к отношению R(A₁, …, A_n), возвращает новое отношение P с тем же набором атрибутов, кортежи которого составляют подмножество кортежей отношения R, удовлетворяющих некоторому условию C. Это записывается как P = σ_C(R). Условие C представляет из себя булевскую формулу, которая построена из элементарных условий, включающих имена атрибутов R и константы. Примерами элементарных условий являются равенства вида A_i = A_j, A_i=a и неравенства вида A_i A_j, A_i a, A_i a. Тогда отношение P задается формулой P(x₁, …, x_n) = R(x₁, …, x_n) C', где формула C' получена из условия C заменой имен атрибутов A_i на имена соответствующих переменных x_i.

Например, оператору выбора σ_{оклад> 6000}(Сотрудники), выбирающему сотрудников с окладом свыше 6000, соответствует формула Φ(n, f, o, d, z) = Сотрудники(n, f, o, d, z) (z > 6000), задающая отношение P_Φ:

Номер	ФИО	Отдел	Должность	Оклад
1	Иванов А.А.	торговый	менеджер	7000
5	Горев С.В.	плановый	зав.отделом	10000

Оператор проекции, примененный к отношению R(A₁, …, A_n), возвращает все кортежи этого отношения, из которых удалены значения атрибутов, не перечисленных в списке параметров этой операции. Отношение P, являющееся проекцией R на подмножество атрибутов , записывается как P = _X(R). Пусть - это атрибуты отношения, не попавшие в X. Тогда проекция задается формулой .

Например, оператору проекции _{ФИО, оклад}(Сотрудники), составляющему список окладов сотрудников, соответствует формула ( f, z) = n o d Сотрудники(n, f, o, d, z), задающая двуместное отношение P :

ФИО	Оклад
Иванов А.А.	7000
Сидоров Н.П.	5000
Сидорова М.И.	6000
Ольгина Н.А.	5500
Горев С.В.	10000

Оператор соединения применяется к двум отношениям и позволяет соединять попарно их кортежи, удовлетворяющие определенным условиям. В реляционной алгебре он представлен в нескольких формах. Пусть R и S - это отношения со схемами R(A₁, …, A_n, B₁, …, B_m) и S(B₁, …, B_m, C₁, …, C_k) с общими атрибутами B₁, …, B_m. Тогда естественное соединение отношений R и S содержит кортежи, которые составлены из кортежей отношения R, продолженных кортежами отношения S. При этом соединяются лишь пары кортежей r R и s S, имеющих одинаковые значения всех общих атрибутов B₁, …, B_m. Так как значения общих атрибутов совпадают они входят в схему P по одному разу, т.е. P имеет схему P(A₁, …, A_n, B₁, …, B_m, C₁, …, C_k). Нетрудно понять, что естественному соединению соответствует формула P(x₁, …, y₁, …, y_m, z₁, …, z_k)= R(x₁, …, y₁, …, y_m) S(y₁, …, y_m, z₁, …, z_k).

Пусть в дополнение к отношениям Сотрудники и Комнаты в базу данных входит отношение Оборудование:

Оборудование
Этаж	НомерКомнаты	Название
2	17	компьютер
2	17	принтер
3	7	ксерокс
3	25	принтер

Тогда отношение определяет доступность тех или иных аппаратов сотрудникам в их комнатах. Оно имеет схему Доступ (НомерСотрудника, Этаж, НомерКомнаты, Название) и представлено в следующей таблице:

Доступ
НомерСотрудника	Этаж	НомерКомнаты	Название
3	2	17	компьютер
3	2	17	принтер
1	2	17	компьютер
1	2	17	принтер
5	3	7	ксерокс

Здесь соединение производится по двум общим атрибута м Этаж и НомерКомнаты. При этом в соединение не попали сведения о сотрудниках с номерами 2 и 7, в комнатах которых нет оборудования, и о принтере в комнате 25, так как в ней нет сотрудников. Соответствующая формула имеет вид: Доступ(n, e, k, o) = Комнаты(n, e, k) Оборудование(e, k, o).

Другой вариант оператора соединения - тета-соединение отношений R и S содержит кортежи, которые составлены из кортежей отношения R, продолженных кортежами отношенияS, удовлетворяющими условию C. Синтаксис этого условия такой же, как и у оператора выбора. Так как в C могут входить не только равенства атрибутов, то атрибуты R и S с одинаковыми именами входят в схему P₁ дважды (обычно, как и в случае декартова произведения, перед ними помещается через точку имя отношения). Оператор тета-соединения выражается через операторы выбора и декартового произведения: . Ему соответствует формула P₁(x₁,…, x_n, y₁, …, y_m, y₁', …, y_m', z₁,…, z_k)= R(x₁,…, x_n, y₁, …, y_m) S(y₁', …, y_m', z₁,…, z_k) C' , в которой C' - это формула C, где вместо имен атрибутов подставлены имена соответствующих переменных.

Операторы реляционной алгебры можно соединять в сложные выражения, позволяющие выражать необходимые пользователям запросы. Например, чтобы получить список фамилий сотрудников с доступным каждому из них оборудованием, можно использовать выражение

Результат его вычисления представлен в следующей таблице:

ФИО	Название
Иванов А.А.	компьютер
Иванов А.А.	принтер
Сидорова М.И	компьютер
Сидорова М.И	принтер
Горев С.В.	ксерокс

Ее строки соответствуют парам значений переменных f,c, на которых истинна формула F(f,c) = n o d z e k (Сотрудники(n,f,o,d,z) Комнаты(n, e, k) Оборудование( e, k, c)