Основы дискретной математики информация [-] Автор: М.И. Дехтярь

8. Лекция: Логика предикатов и базы данных

Содержание

• Реляционные базы данных

• Реляционная алгебра

  • Теоретико-множественные операции

  • Специальные реляционные операторы

• Запросы

• Ограничения целостности

• Задачи

Реляционные базы данных

Большинство современных промышленных баз данных являются реляционными - данные в них представляют конечные отношения (relations), которые хранятся в таблицах. Схема отношения R(A₁,A₂, …, A_n) включает имя отношения R и список его атрибутов A₁,A₂, …, A_n. Вообще говоря, атрибуты в схеме отношения считаются неупорядоченными, т.е. являются не списком, а множеством. Но мы будем считать, что их порядок в схеме является "стандартным". Для каждого атрибута A_i определено множество dom(A_i) его допустимых значений. Схема базы данных состоит из перечня схем отношений, входящих в эту базу. В приложениях отношения чаще называют таблицами, их атрибуты - столбцами, строки таблиц - кортежами или записями, а их элементы - полями. В каждый момент времени состояние базы данных (ее экземпляр) - это набор (конечных) таблиц имеющих соответствующие схемы.

Пример 8.1. Пусть, например, база данных со сведениями о сотрудниках некоторой организации имеет схему: Сотрудники(Номер, ФИО, Отдел, Должность, Оклад), Комнаты(НомерСотрудника, Этаж, НомерКомнаты). Рассмотрим некоторый экземпляр этой базы данных.

Сотрудники
Номер	ФИО		Отдел		Должность				Оклад
1	Иванов А.А.		торговый		менеджер				7000
2	Сидоров Н.П.		плановый		экономист				5000
3	Сидорова М.И.		торговый		зав.складом				6000
4	Ольгина Н.А.		плановый		экономист				5500
5	Горев С.В.		плановый		зав.отделом				10000
Комнаты
НомерСотрудника		Этаж		НомерКомнаты
3		2		17
1		2		17
7		2		18
5		3		7
2		3		27

С точки зрения логики предикатов, этот экземпляр не что иное, как некоторая конечная система сигнатуры Σ₂={Сотрудники⁽⁵⁾, Комнаты⁽³⁾} с основным множеством, включающим строки и числа из таблиц. Первая из приведенных таблиц задает интерпретацию предиката Сотрудники⁽⁵⁾, а вторая - интерпретацию предиката Комнаты⁽³⁾.

Каждому отношению базы данных со схемой R(A₁, …, A_n) мы сопоставим n-местный предикат с тем же именем и n одноместных предикатов A_i(x) (i=1, …, n), выражающих принадлежность объекта x области dom(A_i) допустимых значений атрибута A_i. Следовательно, кортеж (a₁, … , a_n) принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда истинна формула A₁(a₁) … A_n(a_n) R(a₁, … , a_n). Множество таких предикатов для всех отношений базы данных и стандартных отношений, определенных на областях ее атрибутов (обычно это отношения равенства и порядка: =, <, , >, ), образуют сингатуру базы данных.

Например, для приведенного выше отношения Сотрудники⁽⁵⁾ предикаты-свойства соответствующих областей значений могут быть заданы следующим образом:

• Номер(x) x - целое число,

• ФИО(x) x - строка символов длины 30,

• Отдел(x) } x {торговый, плановый, производственный},

• Должность(x) x - строка символов длины 80,

• Оклад(x) x - целое число в интервале от 1000 до 100 000.

Каждый кортеж отношения Сотрудники удовлетворяет формуле Сотрудники(n, f, o, d, z) Номер(n) ФИО(f) Отдел(o) Должность(d) Оклад(z).

Ниже мы будем просто писать R(a₁, … , a_n), подразумевая, что значения a_i входят в соответствующие области dom(A_i). Каждая формула Φ(x₁, …, x_k) со свободными переменными x₁, … , x_k в сигнатуре базы данных определяет множество состояний, т.е. наборов значений ее свободных переменных, на которых она истинна. Такое множество наборов можно рассматривать как множество кортежей, которые входят в новое отношение P_Φ ^(k), определяемое формулой Φ.

Например, формула

задает отношение P_Φ⁽²⁾, определяющее список комнат сотрудников планового отдела:

ФИО	НомерКомнаты
Сидоров Н.П.	27
Горев С.В.	7

Отметим, что для конечных систем поиск значений свободных переменных формул логики предикатов, при которых они выполняются, и проверка истинности замкнутых формул производятся эффективно.