Операции над множествами

Имеется целый ряд операций, позволяющих получать одни множества из других. Рассмотрим основные из них.

Объединением множеств A и B называется множество

Объединением семейства множеств A_i(i I) называется множество

Пересечением множеств A и B называется множество

Пересечением семейства множеств A_i(i I) называется множество

Из определения операций объединения и пересечения непосредственно следует, что они обладают свойствами ассоциативности: A (B C) = (A B) C , A (B C) = (A B) C и коммутативности A B = B A, A B = B A.

Разностью множеств A и B называется множество

Обычно все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого "универсального" множества U. Разность U \ A называется дополнением множества A (в U) и обозначается через . Ясно, что A A = U и A A = .

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

Иногда симметрическую разность множеств называют дизъюнктивной суммой и обозначают A B или A ∇ B.

Декартовым (прямым) произведением множеств A₁, … , A_n называется множество n-ок

Если A₁= … =A_n=A, то A₁ × … A_n называется декартовой (прямой) степенью множества A и обозначается через Aⁿ.

Пример1.1. Пусть заданы множества A= {0,1,… ,n} и B={0,1,… m}, где n N и m N - числа и n < m.

Тогда A B = B, A B = A, A \ B = , B \ A = {n+1,… , m} , A × B = {(i,j)| 0 i n, 0 j m}.

Как доказывать равенство множеств?

Многие математические утверждения, в том числе и многие теоремы в этой книге, имеют следующую форму. Даны разные определения двух множеств A и B. Требуется доказать, что A = B.

Стандартный способ доказательства такого утверждения состоит в доказательстве двух утверждений о включениях:

1. A B и

2. B A.

Доказательства этих включений проводятся по такой схеме: рассматривается произвольный элемент, удовлетворяющий определению меньшего множества (слева от знака ), и устанавливается, что он удовлетворяет также определению большего множества (справа от знака ).

В качестве примера докажем одно из свойств (законов) дистрибутивности для операций объединения и пересечения:

1. Пусть a - произвольный элемент из A (B C) . Тогда по определению операции имеем a A или a (B C) . В первом случае из того же определения выводим, что a (A B) и a (A C). Но тогда по определению операции получаем, что a (A B) (A C). Во втором случае из определения следует, что a B и a C. Из этого и из определения снова следует, что a (A B) и a (A C) и a (A B) (A C). Таким образом, мы установили, что A (B C) (A B) (A C).

2. Пусть теперь a (A B) (A C). Тогда по определению операции имеем a (A B) и a (A C) . Если a A, то оба эти включения выполнены. Но тогда a A (B C) . Если же a A, то из первого включения следует, что a B , а из второго - a C. Следовательно, a (B C) и a A (B C) . Таким образом, (A B) (A C) A (B C) и наше утверждение доказано.

Используя эту же схему, можно установить много других свойств введенных выше операций над множествами и связей между ними (см. задачи 1.2 и 1.5).