Основы дискретной математики информация [-] Автор: М.И. Дехтярь

1. Лекция: Предварительные сведения

Содержание

• Множества

  • Операции над множествами

  • Как доказывать равенство множеств?

• Отношения и функции. Мощность множества

  • Задачи

Множества

Множество - это одно из основных понятий математики, как дискретной, так и непрерывной. Оно не определяется через другие понятия. Содержательно, под множеством понимается некоторая совокупность элементов. Основное отношение между элементами и множеством - это отношение принадлежности элемента множеству. Оно обозначается знаком :x A означает, что элемент x принадлежит множеству A. x A означает, что элемент x не входит в множество A. A B означает, что каждый элемент множества A является также элементом множества B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. Если A B и B A, то A=B, т.е. множества A и B равны. Если A B и A B, то A называется собственным подмножеством множества B, и в этом случае пишем A B. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Обычно множества обозначаются с помощью пары фигурных скобок, в которые заключены их элементы. Небольшие множества задаются прямым перечислением всех элементов. Например, множество простых чисел, не превосходящих 10, это {2, 3, 5, 7}; множество (имен) летних месяцев: {июнь, июль, август}. В описаниях "больших" конечных множеств используют многоточие. В них часто указывается несколько первых элементов и последний элемент множества. Например, множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих 100, записывают как {0, 1, 2, … , 100}, множество всех месяцев года - как { январь, февраль, …, декабрь}. Такое задание требует определенной аккуратности. Например, если некоторое множество A задано как {3, 5, 7, … , 19}, то не ясно, является ли A множеством нечетных чисел, лежащих в интервале от 3 до 19, или это множество простых чисел из того же интервала (возможны и другие его расшифровки). Перечисления элементов бесконечных множеств начинаются несколькими начальными элементами, а завершаются многоточием. При этом часто указывают общий вид элемента задаваемого множества. Основное бесконечное множество, рассматриваемое в дискретной математике, это множество всех натуральных чисел N={0, 1, 2, 3, … } . Множество всех квадратов этих чисел можно задать, например, так: {0, 1, 4, 9, …, n², … } .

Как мы уже отметили, большие множества не всегда можно точно определить, используя перечисление с многоточием. Основной способ их описания имеет вид: { Elem | условие на Elem}, где Elem - это общий вид элемента определяемого множества, а после вертикальной черты описано условие, которому этот элемент должен удовлетворять. Например, {n | (n N) и (10 n 1000)} - это множество целых чисел в интервале от 10 до 1000, {n² | n N} - множество квадратов натуральных чисел, {x N | x - простое число} - множество всех простых чисел.

Множества, элементами которых являются другие множества, часто называют семействами или классами. Семейство (множество) всех подмножеств множества A обозначается через 2^A, т.е. 2^A = {B | B A}. Например, если A={ 0, 1, {2,3}}, то 2^A = { , {0}, {1},{{2,3}},{0,1}, {0, {2,3} },{1, {2,3}}, {0,1, {2,3}} }, а для пустого множества семейство его подмножеств 2 ={ }.