42) Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
43) Интегрирование линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.
44) Решение задачи Коши для линейного однородного уравнения в частных производных.
Если
суть первые интегралы системы
то
общее решение однородного линейного
уравнения с частными производными имеет
вид
где Ф-любая
функция, имеющая непрерывные частные
производные по 
Задача
Коши:
найти решение u,
удовлетворяющее условию
Составляем систему функциональных уравнений:
………..
из
которой выражаем 
через
:
Функция
и есть решение задачи Коши.
45) Интегрирование линейного неоднородного уравнения в частных производных первого порядка.
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения в частных производных
где 
-
некоторая известная функция от 
,
может быть сведено к решению линейного
однородного уравнения в частных
производных, если искать его решение в
неявном виде 
,
где u-
искомая функция.
Линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид
где 
-
функции от x,y.
Рассмотрим также следующее обыкновенное
дифференциальное уравнение:
Это
уравнение называется характеристическим,
а его первые интегралы - характеристиками
исходного уравнения в частных производных.
Для
линейных уравнений в частных производных
второго порядка используется следующая
классификация (в какой-то фиксированной
точке (x,y) ):
1) если 
,
то это уравнение гиперболического типа;
2) если 
,
то это уравнение эллиптического типа;
3) если 
,
то это уравнение гиперболического типа.
Если коэффициенты уравнения зависят
от x,y ,
то в разных точках области определения
уравнение может принадлежать к разным
типам.
Если
рассматривается уравнение гиперболического
типа, то для него имеется две независимые
характеристики: 
и 
.
При помощи замены переменных
, 
уравнение
может быть преобразовано к канонической
форме:
.
Для уравнений гиперболического типа
иногда используется также вторая
каноническая форма: 
.
Если
рассматривается уравнение параболического
типа, то существует лишь одна
характеристика
.
Пусть 
-
произвольная функция, независимая
от 𝞿 .
Тогда при помощи замены
переменных
,
уравнение
может быть приведено к канонической
форме 
.
Если
рассматривается уравнение эллиптического
типа, то существует комплексная
характеристика
.
Пусть 
-
функция, комплексно сопряженная к 
.
Сделав замену переменных 
, 
,
преобразуем уравнение к канонической
форме: 
.
46) Интегрирование квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
Квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида
,
(1)
где 
-
функции, определенные в некоторой
области переменных 
.
Для решения уравнения (1) нужно составить
систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
,
интегрируя которую находим n независимых первых интегралов:
(2)
Общий интеграл уравнения (1) записывают в виде
,где 
-
произвольная дифференцируемая функция.
В
частности, если u входит только в
один из первых интегралов (2), например
в последний, то общее решение можно
написать в виде:
, (3)
где F - произвольная дифференцируемая функция. Разрешив равенство (3) относительно u, получим общее решение уравнения (1) в явном виде.
Пример:
.
Решение.
Составляем систему дифференциальных уравнений
.
Ясно,
что одним из первых интегралов этой
системы будет 
.
Уравнение
является
уравнением в полных дифференциалах,
общее решение которого имеет вид 
.
Следовательно, еще один первый интеграл
системы имеет вид 
.
Поскольку найденные первые интегралы
являются линейно независимыми, то общий
интеграл данного уравнения имеет вид
.
Разрешив
последнее уравнение относительно u,
получим общее решение в виде,
,
где f - произвольная дифференцируемая
функция.
Чтобы
найти поверхность 
,
удовлетворяющую дифференциальному
уравнению
(4)
и проходящую через данную линию
,
(5)
надо
найти два независимых первых
интеграла 
системы(характеристической)
.
(6)
Поскольку
вдоль каждой интегральной кривой
характеристической системы
функции 
постоянны,
а каждая интегральная кривая этой
системы пересекается с заданной линией L,
то
исключая
из этой системы t,
находим зависимость 
,
тем самым на интегральной кривой C справедливо
соотношение
.
(7)
В силу произвольности интегральной кривой соотношение (7) является представлением решения поставленной задачи.