32.Матрица Коши. Формула Коши.

При помощи формулы Коши можно выразить решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений через некоторую фундаментальную систему решений соответствующей однородной линейной системы. Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциаль­ных уравнений (2), записанную в векторном виде Соответствующая ей однородная система (3) Пусть 1, 2, …, n – фундаментальная система решения системы уравнений (3). Образуем матрицу X1(t), столбцы которой являются этими решениями: Определитель матрицы Х₁(t) представляет собой определитель Вронского. Он отличен от нуля для всех t[a, b]. Следовательно, существует обратная матрица X-11(t) при каждом t[а, b]. Составим матрицу

X(t, t0) = X₁(t)X1-1(t₀)

Столбцы этой матрицы также образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (3). Отметим, что X(t, t0)= Назовем матрицу X(t, t0) фундаментальной матрицей системы (3). Эта матрица удовлетворяет матричному уравнению Решение (t) системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным условиям (t0)=x0, можно записать в виде Тогда можно показать, что следующая формула, называемая формулой Коши, позволяет найти решение x(t) неоднородной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, если известна фундаментальная матрица X(t, t0) однородной системы (3): Следует отметить, что если матрица А постоянная, т. е. рас­сматриваемая система дифференциальных уравнений является системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами то решение этой системы x(t), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, запишется в виде

где X (f) — матрица, столбцы которой состоят из фундаменталь­ной системы решений однородной системы уравнений xt'=Ах, причем X (t0) = E.

33.Структура общего решения линейной неоднородной системы. Метод вариации постоянных.

Определение 1. ЛНС ДУ называется система уравнений следующего вида (5.1) где - заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.

Т еорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (5.1) представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОС ДУ (3.1) и какого-либо частного решения системы (5.1):

Доказательство.

1. Прежде всего докажем, что (5.2) является решением ЛНС ДУ (5.1). Для этого, подставим выражение (5.2) в (5.1) и покажем, что в результате получим тождество.

т.е. имеем ₀₌₀. Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (5.1).

2. Во втором разделе доказательства докажем, что выражение (5.2) дает общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа такие, что выделенное из семейства (5.2) частное решение будет удовлетворять начальным условиям (5.3). Согласно теореме 2 § 3 выражение (5.2) можно переписать в виде: (5.4) где и образуют фундаментальную систему решений ЛОС ДУ. Подставим в (5.4) начальные условия: Или (5.5) Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского

Но согласно теореме 1 § 3 он не равен нулю , следовательно, система уравнений (5.5) имеет решение и притом единственное: . Теорема доказана.