3.Логические основы эвм. Представление числовой информации

Теоретической основой построения ЭВМ являются специальные математические дисциплины. Одной из них является алгебра логики или булева алгебра (Дж. Буль (1815-1864) – английский математик, основоположник этой дисциплины). Ее аппарат широко используется для описания схем ЭВМ, их оптимизации и проектирования. Как уже отмечалось, вся информация в ЭВМ представляется в двоичной системе счисления. 

Различают простое и сложное высказывание. Под высказыванием понимается всякое предложение, принимающее два значения – «истинно» или «ложно». Значение истинности обозначают цифрой 1, значение ложности – цифрой 0. Исходные высказывания называют простыми, а образованные из них другие высказывания – сложными. Например, высказывание «Школа – учебное заведение» является истинным, а высказывание «Драйвер – устройство для подключения приборов» – ложным.

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения, или конъюнкцией. Эту операцию принято обозначать знаком «Λ» или знаком умножения «•». Сложное высказывание X Λ Y истинно только в том случае, когда истинны оба входящих в него высказывания.

Истинность такого высказывания задается следующей таблицей Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Эту операцию обозначают знаком «V» или знаком сложения «+». Сложное высказывание X V Y истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний. Таблица истинности для логической суммы имеет вид (таблица Присоединение частицы «НЕ» к данному высказыванию называется операцией отрицания. Она обозначается X и читается «НЕ X». Если высказывание X истинно, то X ложно, и наоборот. Таблица истинности в этом случае имеет вид (таблица 3):

Помимо операций «И», «ИЛИ», «НЕ» в алгебре логики существует много других операций. Например, операция эквивалентности (X ~ Y), которая имеет следующую таблицу истинности

Другим примером может служить логическая операция импликации (X→Y), объединяющая высказывание «Если…то» и имеющая следующую таблицу истинности

Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства.

Используя данные зависимости, можно преобразовывать исходные выражения в более простые (минимизировать их). По упрощенным выражениям можно построить техническое устройство, имеющее минимальные аппаратурные затраты.

Представление чисел в памяти компьютера имеет специфическую осо­бенность, связанную с тем, что в памяти компьютера числа должны рас­полагаться в байтах — минимальных по размеру адресуемых ячейках па­мяти. Адресом числа считают адрес первого байта. В байте может содер­жаться произвольный код из восьми двоичных разрядов.

1. Целые числа представляются в памяти компьютера с фиксирован­ной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти компьютера соответствует один и тот же разряд числа, запятая находится справа после младшего разряда (то есть вне разрядной сетки). Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит) Для кодирования целых чисел от 0 до 65 535 требуется шестнадцать бит; 24 бита позволяют закодировать более 16,5 миллионов разных значе­ний. Если для представления целого числа в памяти компьютера отведено N бит, то количество различных значений будет равно 2^N. Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках стоят единицы. Если под представление целого положительного числа отведено N бит, то максимальное значение будет равно 2^N -1. Прямой код целого числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют необходимым количеством незначащих нулей, соответствующим количеству незаполненных разрядов, отведённых для хранения числа.

2. Для представления целых чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в знаковый раз­ряд записывается 0, если число отрицательное, то — 1. Максимальное значение целого числа со знаком достигается в случае, когда в старшем разряде стоит 0, а во всех остальных ячейках стоят еди­ницы. Если под представление целого числа со знаком отведено N бит, то максимальное значение будет равно 2^N-1-1. Поскольку количество возможных значений в N битах равно 2^N-1, то в случае представления целых чисел со знаком количество отрицательных значений на единицу больше количества положительных значений. Такая ситуация связана с тем, что для представления нуля во всех ячейках стоят нули. Если же в знаковом разряде стоит единица, а во всех остальных разрядах нули, то это представление соответствует отрицательному (как правило, наимень­шему) числу. 

3. Другой способ представления целых чисел — дополнительный код. Дополнительный код целого отрицательного числа может быть полу­чен по следующему алгоритму: записываем прямой код модуля числа;инвертируем его (заменяем единицы нулями, нули единицами); прибавляем к инверсному коду единицу.

4. При получении числа по его дополнительному коду необходимо определить его знак. Если число окажется положительным, то переводим его код в десятичную систему счисления.