2.1. Целые числа

1. Определение целого числа

Опр.: Пусть (а, b), (с, d)

Пример: (5,3)

5+6=8+3

6-3=8+7

a-b=c-d

Теорема: Отношение (эквивалентности) является отношением эквивалентности.

Док-во: рефлексивность:

a+b=b+a

симметричность:

a+d=b+c

транзитивность:

+

Что и тр. док-ть.

Свойство 1:

Док-во: Что и тр. док-ть.

Определение: Целым числом будем называть класс эквивалентности относительно отношения эквивалентности на .

Множество всех классов эквивалентности наз. Множеством целых чисел и обозначается Z.

Пример:

2.2. Сумма и разность целых чисел.

Опр.: суммой целых чисел α=[(a;b)] и β=[(c;d)] наз. целое число γ=[(a+c;b+d)].

Th1 (корректность определения суммы): сумма не зависит от выбора представления класса (суммы эквивалентных пар – эквивалентны).

Док-во: α=[(a;b)]=[(a1;b1)] β=[(c;d)]=[(c1;d1)]

Док-ть: [(a+с;b+d)]= [(a1+c1;b1+d1)]

(a+c;b+d)῀(a1+c1;b1+d1)

(a+c)+(b1+d1)=(b+d)+(a1+c10

[(a;b)]= [(a1;b1)]  (a;b)῀(a1;b1)

a+b1=b+a1 (1)

[(c;d)]= [(c1;d1)]  (c;d)῀(c1;d1)

c+d1=d+c1 (2)

(1)+(2): (a+b1)+(c+d1)=(b+a1)+(d+c1)

Th2 (коммутативность сложения): α, β ϵ Z, α+β=β+α

Док-во: α=[(a;b)] β=[(c;d)]

α+ β=[(a+c;b+d] ; β+α=[9c+a;d+b)]= α+ β

Th2 (ассоциативность сложения): α, β, γ ϵ Z, (α+β)+γ=α+(β+γ)

Док-во: α=[(a;b)] β=[(c;d)] γ=[(m;n)]

(α+β)+γ=[(a+c;b+d)]+[(m;n)]=[(a+c)+m;(b+d)+n] ; α+(β+γ)=[(a;b0]+[(c+m;d+n)]=[(a+(c+m);(b+d)+n)]

Св-во1: целое число 0=[a;a] явл. нейтральным отн. сложения в мн-ве целых чисел α+0=0+α, α ϵ Z.

Док-во: α=[(с;d)]

α+0=[(c;d)]+ [a;a]=[(c+a;d+a)]=[(c;d)]=α ; 0+α =α+0=α

Опр.: целое число 0=[a;a] наз. нулем.

Св-со2: α=[(a;b)] ϵ Z сущ. (-α)=[(b;a)], кот. явл. противоположным к эл-ту α отн. сложения.

Док-во: α+(-α)= (- α)+ α=0

α+(-α)=[(a+d;b+a)]=[(a+b;a+b)]=0; (- α)+ α= α+(-α)=0

Следствие: <Z;+> - аддитивная абелева группа.

Опр.: разностью целых чисел α и β равно такое целое γ, что α=β+γ

Св-во3: (α-β) – решение уравнения β+х=α

Th4: α, β ϵ Z разностью α-β сущ. и определена единственным образом.

Следствие: разность – бинарная алгебраическая оп-ция на Z.

2.3 Умножение целых чисел.

Произведением называется целое число

Теорема 1: Корректность определения произведения:

произведения эквивалентных пар эквивалентные.

● ,

(*)

, (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(5)* (6)

(5)* (7)

(8)

(4)+(8) ●

Теорема 2: (коммутативность умножения)

●

●

Теорема 3: Ассоциативность умножения.

●

●

Теорема 4: Дистрибутивность умножения.

●

●

Следствие1: <Z;+,·>Коммутативное кольцо.

Свойство!

●

●

Следствие 2:<Z;+,·>Коммутативное кольцо с единицей.

2.4. Порядок в кольце целых чисел.

Опр.: Будем говорить, что целое число α=[(a,b)] «больше чем» целое β=[(с,d)], если a+d>b+c.

Теорема 1:Корректность определения отношения «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.

Док-во:

α=[(a, b)]=[(a₁,b₁)]

β=[(с,d)]= [(с₁,d₁)]

a+d>b+c

Доказать a₁+d₁>b₁+c₁.

(a,b) ~ (a₁,b₁)=>a+b₁=b+a₁

(c,d) ~ (c₁,d₁)=>c+d₁=d+c₁

(a₁+d₁)+(b+c)=(b₁+c₁)+(a+d)

a+d>b+c => a₁+d₁> b₁+c₁.

Опр.: Будем говорить, что α β если α > β или α β. Аналогично с α β.

имеет место только одно из соотношений:

1. 

2. α = β

3. α < β

Док-во:

α=[(a, b)] β=[(с,d)]

(a,d) и (b,c) – натуральные числа, которые находятся в одном из следующих отношений:

(a,d) > (b,c) или (a,d) < (b,c) или (a,d) = (b,c) => α > β или α = β или α < β.

Теорема 3:Отношение « » является отношением порядка на множестве Z.

Док-во:

рефлексия α α.

антисимметричность: α и => α =

α=[(a, b)] β=[(с,d)]

(α : a+d b+c и : a+d b+c) => a+d b+c => (a,b) ~ (c,d) => α = .

транзитивность: α и => α

α=[(a, b)] β=[(с,d)] =[(m,n)]

α : a+d b+c

: с+n d+m.

Д-ть: a+n b+m.

(a+d)(c+n) (b+c)(d+m)

a+n b+m => α

2.5

Определение: Будем говорить, что целое число положительное, если а>b. И будем обозначать ₊ - множество всех положительных целых чисел.

Свойство1: (корректность определения) Определение корректно.

Доказательство: , a>b

доказать:

(a,b) ~ : a+ =b+ , a>b .

Лемма1: Множество ₊={[1+k;1]| k }

Доказательство: ,1+k>1 ₊

₊ c>d

(c;d) ~ (c+1;d+1)=(d+k+1;d+1) ~ (k+1;1).

Свойство2: ₊

Доказательство: k≠n [(1+k;1)]≠[(1+n;1)] – отображение и иньекция

[(1+n;1)].

Теорема1: Отображение ₊ сохраняет отношение «больше чем», «сумму», «произведение».

Доказательство: α>β f(α)>f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

α>β (1+k)+1>1+(1+n) k+2>n+2 k>n

f(α)>f(β)

• f(α+β)= f(α)+f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

α+β=[1+k+1+n;1+1]=[(1+k+n;2)]

f(α+β)=k+n= f(α)+f(β)

• f(αβ)=f(α)f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

αβ=[((1+k)(1+n)+1;1+k+1+n)]=[(1+kn;1] f(α*β)=k*n= f(α)*f(β).

Следствие: Отображение f^-1: ₊ :k [(1+k;1)] является инъекцией сохраняет сумму, произведение и отношение «>».

Таким образом f^-1 является вложением и позволяет нам рассматривать как подмножество в .

Свойство3: Положительное число равно натуральному числу .

Доказательство: >0 a>b

.

Свойство4: Любое целое число равно разности натуральных чисел .

Доказательство: a=[(1+a;1)]

b=[(1+b;1)]

Рассмотрим сумму

α+β=[(a;b)]+[(1+b;1)]=[(a+1+b;b+1)]=[(a+1;1)]=a.

Определение: Целое число называется отрицательным, если

Свойство: Число положительное тогда и только тогда, когда .

Доказательство: 0=[(1;1)]

положительное .

Свойство5: , где .