Векторный и тензорный анализ_1 / Вопросы по матану

1) Определение двойного интеграла по прямоугольнику (суммы Дарбу и их свойства, определение интегрируемости, необходимое условие интегрируемости) 2) Основной критерий интегрируемости. Достаточное условие интегрируемости. 3) Понятие жорданова множества. Интеграл по жорданову множеству. Достаточное условие интегрируемости. 4) Свойства аддитивности интеграла. 5) Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному (по прямоугольнику и "простому" жорданову множеству) 6) Теорема о среднем для двойного интеграла. 7) Формулы замены переменных в двойном интеграле. 8) Определение тройного интеграла. Формула перехода к повторному. 9) Формулы замены переменных в тройном интеграле. 10) Несобственные двойные интегралы. Вычисление интеграла Пуассона. 11) Понятия гладкой дуги, кусочно-гладкого контура, пути обхода контура. 12) Определения криволинейных интегралов 1 и 2 рода. Их свойства. 13) Эквивалентные определения потенциального векторного поля на плоскости и в пространстве. 14) Формула Грина. 15) Критерий потенциальности гладкого векторного поля на плоскости. 16) Понятие листа гладкой поверхности, элемента площади гладкой поверхности. 17) Определение поверхностного интеграла 1 рода. 18) Понятие односторонней и двусторонней поверхности. Понятие потока векторного поля через двустороннюю поверхность. 19) Выражение потока векторного поля через поверхностный интеграл 2 рода. 20) Формула Гаусса-Остроградского. 21) Формула Стокса. 22) Критерий потенциальности гладкого векторного поля в пространстве. 23) Инвариантные определения дивергенции, градиента и ротора. 24) Выражение дифференциальных операций над скалярными и векторными полями с помощью вектора набла. 25) Определение числового ряда. Сходимость ряда. Общие свойства сходящися рядов. 26) Критерий сходимости и принципы сравнения знакоположительных рядов. 27) Признаки Коши и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. 28) Интегральный признак сходимости. 29) Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. 30) Критерий Коши сходимости числового ряда. Понятие абсолютной и неабсолютной сходимости. 31) Признак сходимости Абеля-Дирихле. 32) Теорема о перемножении рядов. 33) Функциональные последовательности и ряды, их поточечная и равномерная сходимость на множестве. 34) Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. 35) Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. 36) Теоремы о почленном переходе к пределу в функциональных последовательностях и рядах. 37) Теоремы о непрерывности предела функциональной последовательности и суммы функционального ряда. 38) Теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей и рядов. 39) Теоремы о почленном дифференцировании функциональных последовательностей и рядов. 40) Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. (для комплексной переменной) 41) Теорема о производной суммы степенного ряда. (для комплексной переменной) 42) Понятие ряда Фурье. Представление частичных сумм ряда Фурье с помощью ядра Дирихле. 43) Лемма Римана. 44) Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье. 45) Комплексная и действительная форма ряда Фурье, ряды Фурье четных и нечетных функций. Случай функций с периодом, отличным от 2*pi. 46) Преобразование Фурье. Формула обращения. 47) Теорема Шеннона-Котельникова. 48) Представление функций на полупрямой с помощью косинус и синус преобразований Фурье.