Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства.
Показательная функция - это функция вида
Свойства:
Не является четной и не является нечетной
- горизонтальная
асимптота
При
- показательная
кривая
Это пример графика
функции (например,
).
Это пример графика
функции (например,
).
Для показательных выражений имеем сравнения:
Функция
при
и
называется показательной.
Почему не берется
и
При
имеем
при
- это постоянная функция.
При
тоже постоянная функция.
Выражение
при
имеет смысл только в случае, когда
- рациональное число, т.е. число вида
и
- нечетное, т.е. для отдельных точек.
Степень с отрицательным основанием и
иррациональным показателем или с четным
знаменателем показателя не определена.
Не определено также выражение
или 0 в отрицательной степени.
Показательные уравнение и неравенства
Показательным называются уравнения, в которых неизвестная входит только в показатель степени. Основание - постоянное
число. Простейшее
показательное уравнение
или
.
Они решаются сведением правой и левой
части к одному основанию или
логарифмированием правой и левой части.
Например:
.
При решении уравнений используются свойства степеней:
1)
2)
3)
5)
При решении показательных неравенств используются следующие свойства:
Из неравенства
следует:
Если a
> 1, то
,
так как функция
возрастает.
Если 0 < a
< 1, то
,
так как функция
убывает.
Аналогично
,
то
Если a > 1, то , так как функция возрастает.
Если 0 < a
< 1, то
,
так как функция
убывает.
Методы решения показательных неравенств рассмотрим на примерах.
Пример 1. Решить
неравенство
.
Решение.
Преобразуем данное неравенство, приведя
его к одинаковым степеням:
.
Замена:
.
Имеем:
или
.
Обратная замена:
.
Ответ:
.
Пример 2. Решить
неравенство
.
Решение. Имеем:
или
.
Замена:
.
После замены имеем систему неравенств
или
.
Ответ:
.
Пример 3. Решить
неравенство
.
Решение. Такое
неравенство называется однородным.
Имеем:
.
Разделим обе части неравенства на
.
Имеем:
.
Замена:
.
Имеем систему неравенств
.
Решение этой системы:
Или после обратной замены
.
Ответ:
.
Логарифмы. Определение. Свойства.
Определение.
Логарифмом числа b
(b
> 0) по основанию a
,
называется показатель степени, в которую
нужно возвести основание a,
чтобы получить число b.
Таким образом,
запись
означает
Это основное логарифмическое тождество.
Запись
и
имеют одинаковый смысл.
Если a
= 10 то пишут
,
если a
= e,
то
.
Свойства логарифмов
1. Основное
логарифмическое тождество. Если x
> 0, то
,
.
2. Логарифм основания
равен единице.
,
.
Так как
.
3. Логарифм единицы
равен нулю.
,
.
Так как
.
4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
а)
,
если
,
.
в)
,
если
,
.
Эти две формулы можно объединить в одну:
с)
,
если
,
.
Доказательство
пункта 4а). Обозначим
,
,
.
Тогда по определению логарифма имеем:
,
,
,
,
т.е.
.
Отсюда
,
т.е.
.
ч.т.д.
Аналогично доказывается пункт 4в).
Замечание. При
использовании формул 4а) и 4в) мы сужаем
область определения: левая часть
определена при
,
а правая при
или
.
При использовании этих формул возможна
потеря решения. При использовании
формулы 4с) мы расширяем область
определения: левая часть определена
при
,
а правая при
.
При использовании этой формулы можно
приобрести постороннее решение. Что
хуже?
5. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
а)
,
если
,
.
в)
,
если
,
.
Объединив эти две формулы, получим:
с)
,
если
,
.
Доказательство аналогично пункту 4 (самостоятельно).
6. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
а)
,
если
,
.
в)
,
если n
четное и
,
.
В общем случае, с учетом замечания к пункту 4, можно записать:
с)
,
если
,
.
7. Логарифм корня:
,
,
.
8. Логарифм
рациональной степени:
,
,
.
Или
,
если
,
.
9. Формула возведения
в степень основания логарифма и выражения
под знаком логарифма:
,
,
b
> 0.
10. Формула перехода
к новому основанию:
,
b
> 0,
,
.
Доказательство
пункта 10.
.
11. Если c
= b,
то
,
,
.
12.
,
,
x
> 0, y
> 0.
Доказательство.
.
Ч.т.д.
13. Знаки логарифмов.
Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен. Если по разные стороны, - то отрицателен:
Примеры.
Представить степень с основанием a в виде степени с основанием b.
а)
;
b)
;
c)
.
2. Вычислить.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.