Билет №32. Производная обратной функции, производная арксинуса и арктангенса

Пусть   - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале  . Если в уравнении   y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция  , где   - функция обратная данной.

Теорема о дифференцировании обратной функции

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции

Для арксинуса:

Для арктангенса:

Билет №33. Свойства функций, непрерывных на отрезке, теорема Ролля, теорема Лагранжа

Некоторые свойства функций непрерывных на отрезке (без док-ва)

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ принадлежащая [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке:

f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль:

f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Теорема 3. (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка

C [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции

y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B.

Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

С ледствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Теорема Ролля

Если функция, непрерывная на отрезке   и дифференциируемая на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Геометрический смысл. Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствие. Если непрерывная функция обращается в ноль в   различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в   различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

Теорема Лагранжа

Пусть функция     дифференцируема в открытом промежутке     и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка   , что

Следствие 1. В частном случае, когда   , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка   , в которой производная функции    равна нулю:   . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. 

Следствие 2. Если     во всех точках некоторого промежутка   , то    в этом промежутке. Действительно, пусть     и     – произвольные точки промежутка     и   . Применяя теорему Лагранжа к промежутку   , получим

Однако     во всех точках промежутка   . Тогда

Учитывая произвольность точек     и   , получаем требуемое утверждение. БИЛЕТ № 34.

Понятие дифференциала и его геометрический смысл. d f(x)=f’(x₀)∙∆x

∆x∙tg=∆x∙f’(x₀)=df С геометрической точки зрения дифференциал – это приращение касательной, отвечающее данному приращению аргумента.

 БИЛЕТ № 35.

Производные высшего порядка. Правило Лейбница. Пример.

Произв. высш. порядка(определение): Функция f＇(x) называется производной функции f(x), или первой производной от f(x). Функция f＇(x), в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала (a;b), которую мы обозначим f＇＇(x) и назовём второй производной функции f(x). Если предположить, что вторая производная f＇＇(x) существует во всех точках x € (a;b), то она может также иметь производную f＇＇＇(x), называемую третьей производной функции f(x), и т. д. Вообще, -й производной функции f(x)называется производная от предыдущей, (n-1)-й производной f^(n-1)(x): f^(n-1)(x)=(f⁽ⁿ⁾⁽x))＇

Т

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

a+b

a²+2ab+b²=(a+b)²

a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴=(a+b)⁴

реугольник Паскаля:

коэф. разложения по биному Ньютона

c^k_n- k-ый коэффициент b в n-ом ряду

Правило Лейбница:

В

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

(uv)＇=u＇v+uv＇

(uv)＇＇=u＇＇v+2u＇v＇+uv＇＇

(uv) ＇＇＇=u＇＇＇ +3u＇＇v＇+3u＇v＇＇+uv＇＇＇

(uv⁾⁽⁴⁾=u⁽⁴⁾v+4u＇＇＇v＇+6u＇＇v＇+4u＇v＇＇＇+uv⁽⁴⁾

ычисление высокой производной произведения

Билет №36. Знак производной на интервале и монотонность функции ( с выводом из теоремы Лагранжа).

Знак производной на интервале

Функция         имеет максимум в точке        , если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку      . Функция         имеет минимум в точке        , если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку     . Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает.

Монотонность функции

Определение 1: Функции называется возрастающей [убывающей] на множестве , если для любых значений аргумента из выполняется условие .

Определение 2.Промежутки, на которых функция возрастает (убывает) называются промежутками монотонности функции .

Определение 3: Функция называется возрастающей [убывающей], если для любых значений аргумента из выполняется условие .

Определение 4: Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

• Свойство 1. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и С – любое число. Тогда функция , также возрастает (убывает) на множестве .

• Свойство 2. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и C > 0. Тогда функция , также возрастает (убывает) на множестве .

• Свойство 3. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и C < 0. Тогда функция , убывает (возрастает) на множестве .

• Свойство 4. Пусть функция возрастает (убывает) и знакопостоянна на множестве . Тогда функция , убывает (возрастает) на множестве .

• Свойство 5. Сумма возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).

• Свойство 6. Произведение возрастающих (убывающих) неотрицательных функций есть функция возрастающая (убывающая).

Теорема 1. Если функция возрастает на множестве , а функция убывает на множестве , то уравнение имеет на не более одного корня.

Теорема 2. Если функция монотонна на множестве , а функция постоянна на множестве , то уравнение имеет на не более одного корня.

Билет 37. Производная второго порядка, графический смысл ее знака на интервале.

Производная второго порядка

Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают :

Вторая производная от параметрической функции x = x (t) и y = y (t) задается формулой:

Вторую производную иногда обозначают:

Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Билет №38. Отыскание асимптот функции. Пример, показывающий, что могут быть разные асимптоты при x→+∞ и x→-∞.

Асимптота – прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Асимптота может быть вертикальной или наклонной. Вертикальная А. имеет уравнение x=b , причем f(x)→+∞ (-∞) при x→a (односторонне).

Пусть функция f (x) определена для всех x. Если существуют такие числа k и b, что f(x)-kx-b = 0 при х, то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (x).

k = lim f(x)/x при x→+∞ (x→-∞)

b = lim (f(x)-kx) при x→+∞ (x→-∞)

Пример разных асимптот на разных бесконечностях:

y=

x→+∞ k = lim = lim = 1 b=0

x→-∞ k = lim = lim = -1 b=0

Билет 28. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример функции непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.

Теорема: если функция дифференцируема, то она непрерывна (если функция имеет производную, то она непрерывна).

Н епрерывность означает f(x0)=lim f(x) x 0. Это тоже, что f 0.

Где

!!!непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой.

Пример: y=|x| непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема.

Здесь односторонние приделы не совпадают, значит предел не существует.

Замечание: 1)понятие производной и понятие дифференцируемая вводится также и для функции нескольких переменных. В случае нескольких переменных эти понятия не совпадают.

2) существует функция в каждой точке непрерывная и не в одной точке, не имеющая производной.

Производная стремится к бесконечности, когда касательная более перпендикулярна к оси Х.

Билет №39. План исследования функции для построения ее графика. Пример: и построить ее график.

1. Найти область определения функции

x∈(-∞;1) ∪(1; +∞)

2. Определить, является ли функция четной, нечетной или общего вида

Не обладает четностью

3. Определить нули и промежутки знакопостоянства функции

- + + x

0 1

4) Выяснить поведение функции на границе области определения, т.е. найти односторонние пределы в точках, не принадлежащих к области определения

x→1-0

x→1+0

5. Выяснить поведение функции на бесконечности

x→+∞

x→-∞

5. Найти наклонные асимптоты – по отдельности для x→+∞ и x→-∞, или убедиться в их отсутствии

y=kx+b

x→+∞ x→-∞

x→-∞ x→-∞

y=x+2

5. Найти первую производную, определить критические точки и промежутки знакопостоянства первой производной. Определить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.