Точки разрыва и их классификация

Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы и совпадают.

Определение: точка называется точкой разрыва, если в этой точке функция не определена или если определена и не является непрерывной.

Логически возможны три случая.

а) устранимый разрыв

б) конечный разрыв. Скачок функции равен

Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода.

в) Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода

Имеет разрыв при х = а.

Вопрос № 24 Понятие производной функции (1). Понятие секущей и касательной (2). Геометрический смысл производной (3).

1. Пусть y=f(x) определена в О(x₀) и пусть x₀+Δx ∈ O(x₀) Δf = f(x₀+Δx) - f(x₀) – приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению Δх.

Говорят также, что производная – это скорость изменения функции.

2. Определение: при данном Δх прямая, соединяющая точки (х₀;f(x₀)) и (х₀+Δх;f(x₀+Δx)), называется секущей при данном приращении Δх. Определение: касательной к графику функции в данной точке называется предельное положение секущей при Δх→0, если такое существует.

3. С геометрической точки зрения дифференциал – это приращение касательной, отвечающее данному приращению аргумента.

Вопрос №25 Вычисление по определению производной синуса.

y = sinx

Δy = sin(x+Δx) – sinx = 2sin( )*cos( ) (так как cosx – непрерывная)

Билет №26.

Вычисление по определению производной степенной функции y=xⁿ при n=2, n=3.

1.Определение: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (О_(Хо))  и пусть x₀ +Δx ∈ О_(Хо) Δf = f(x₀ +Δ x) – f (x₀) - приращение f(x) в точке x₀ , соответствующее Δ x.

f’ (x0) = lim Δf/Δx Δx→ 0

ПроизвоΔдная в точке x₀ :

Говорят также, что производная – это скорость изменения функции.

2.Пример вычисление производно по определению:

а)n=3

y=x³

Δy= (x+Δx)³ – x³

Δy= x³+3x²Δx+3x(Δx)²+(Δx)³-x³

Δy/Δx=3x²+3xΔx+(Δx)²→ 3x²

(x³)’ =3x²

б)n=2

y=x²

Δy=(x+ Δx)²- x²

Δy= x²+2xΔx+(Δx)²-x²

Δy/Δx=2x+Δx→2x

(x²)’=2x

Билет №27.

Понятие дифференцируемости функции. Теорема о том, что функция дифференцируема в данной точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке.

1.Определение и основное свойство:

Определение: функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x_о ,если её приращение (Δx) может быть представлено следующим образом:

Δf = AΔx +α(Δx) Δx, где α(Δх)→0 , Δх→

AΔx –это линейная часть

α(Δx) Δx – это величина более высокого порядка малости

Теорема: функция является дифференцируемой тогда и только тогда, когда имеет производную в данной точке.

A=f’(x_o)

Билет №28. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример функции непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.

Теорема: если функция дифференцируема, то она непрерывна (если функция имеет производную, то она непрерывна).

Н епрерывность означает f(x0)=lim f(x) x 0. Это тоже, что f 0.

!!!непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой.

Пример: y=|x| непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема.

Здесь односторонние приделы не совпадают, значит предел не существует.

Замечание: 1)понятие производной и понятие дифференцируемая вводится также и для функции нескольких переменных. В случае нескольких переменных эти понятия не совпадают.

2) существует функция в каждой точке непрерывная и не в одной точке, не имеющая производной.

Производная стремится к бесконечности, когда касательная более перпендикулярна к оси Х.

Бидет №29. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная тангенса .

Правила дифференцирования.

Производная тангенса.

Билет № 30

Производная сложной функции. Примеры.

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u производную y'_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y'_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀ =f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx:

Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀).

Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем

(при Δu→0) ,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y'_u Δu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y'_x = y'_u·u'_x

Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной

y'_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y'_x = y'_u·u'_x. Применяя эту же теорему для u'_x получаем , т.е.

y'_x = y'_x · u'_x· v '_x = f'_u (u)·u'_v (v)·v'_x (x).

Примеры:

1)

2)

Билет № 31

Обратная функция и ее производная. Производная логарифмической функции.

y=f(x) xϵD

x=g(y) обратная ф-ция

f(g(y))=y

g(f(x))=x

g(y) является функцией, только если осуществляется однозначное соответствие, для этого необходимо, чтобы разным значениям аргумента Х соответствовали разные значения У.

x₁ ≠ x₂ => f(x₁)≠f(x₂)

Это выполняется, если y=f(x) строго монотонная .

Производная:

x=g(f(x)) , где g- обратная к f

1=g'(f(x)) * f '(x) (f '(x) ≠0)

g'(f(x)) = 1/f '(x)

x'_y = 1/у'_x у'_x =1/ x'_у

Производная логарифмической функции.

(ln x)' = 1/x

(log _a x)' = 1/xln a