18 Билет Теорема о двух полицейских для функций. Первый замечательный пример ( с доказательством ). Пример.
Теорема о двух полицейских для функций.
Теорема называется так благодаря таким фактам. Если два милицейских удерживают между собой злоумышленника и при том направляются в клетку, то узник также должен идти туда.
Формулируется теорема следующим образом:
Первый замечательный предел с доказательством. Пример.
Билет№ 19
Второй замечательный предел. Примеры.
П
римеры:
20 Понятие непрерывной функции. Понятие устранимого разрыва. Пример функции с устранимым разрывом, задаваемой формулой.
Понятие :
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
ε-δ
определение
Пусть
и
.
Функция
непрерывна
в точке
,
если для любого
существует
такое,
что для любого
Функция
непрерывна
на множестве
,
если она непрерывна в каждой точке
данного множества.
Другими
словами, функция
непрерывна
в точке
,
предельной
для множества
,
если
имеет
предел
в точке
,
и этот предел совпадает
со значением функции
.
Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
Понятие устранимого разрыва :
Теорема: предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы. Lim f(x)= a <-> Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X X 0 + O X X 0 – O
Точка X 0 – точка разрыва,если в ней функция неопределенна или,если определена,то не является непрерывной. Устранимый разрыв – это разрыв, при котором функция определяется так, что она становится непрерывной. Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X X 0 - O X X 0 + O Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке: Lim f(x) ≠f(a) , тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции. . x a
Пример функции с устранимым разрывом___:
Рассмотрим
функцию
.
Её область определения D(f)=(-
∞
;0)U(0;
+
∞
) состоит из точек непрерывности, так
как это элементарная функция. Точка X
0 =0, в которой функция не определена,
это точка разрыва функции.
Поскольку
при
,
то
.
Это означает, что при x
= 0функция имеет устранимый разрыв и
становится непрерывной на всей
вещественной оси, если положить
.
Билет №20. Понятие непрерывной функции. Понятие устранимого разрыва. Пример функции с устранимым разрывом, задаваемой формулой.
Понятие :
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
ε-δ определение Пусть и .
Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.
Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции .
Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
Понятие устранимого разрыва :
Теорема: предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы. Lim f(x)= a <-> Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X X 0 + O X X 0 – O
Точка X 0 – точка разрыва,если в ней функция неопределенна или,если определена,то не является непрерывной. Устранимый разрыв – это разрыв, при котором функция определяется так, что она становится непрерывной. Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X X 0 - O X X 0 + O Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке: Lim f(x) ≠f(a) , тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции. . x a
Пример функции с устранимым разрывом___:
Рассмотрим функцию . Её область определения D(f)=(- ∞ ;0)U(0; + ∞ ) состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка X 0 =0, в которой функция не определена, это точка разрыва функции.
Поскольку при , то . Это означает, что при x = 0функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить .
Билет №21. Функции, непрерывные на отрезке. Их свойства. Примеры.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Свойства:(наибольшее и наименьшее значения)
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.
Т
еорема
утверждает, что если функция y
= f(x)
непрерывна на отрезке [a,
b],
то найдётся хотя бы одна точка x1
Î [a,
b]
такая, что значение функции f(x)
в этой точке будет самым большим из всех
ее значений на этом отрезке: f(x1)
≥ f(x).
Аналогично найдётся такая точка x2,
в которой значение функции будет самым
маленьким из всех значений на отрезке:
f(x1)
≤ f(x).
Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.
Теорема 2 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.
Пример:
Найти
наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке [1;
4]
Областью определения функции является
все множество действительных чисел, за
исключением нуля, то есть D(y)=(-
∞;
0)U(0;
+ ∞).
Оба отрезка попадают в область
определения.
Находим производную
функции по правилу
дифференцирования дроби:
Стационарные
точки определим из уравнения
.
Единственным действительным корнем
является x
= 2.
Эта стационарная точка попадает в первый
отрезок [1;
4].
Для первого случая вычисляем значения
функции на концах отрезка и в стационарной
точке, то есть при x
= 1, x = 2
и x
= 4
и получим y(1)=5
, y(2)=3
, y(4)=4,25
Следовательно, наибольшее
значение функции y=5
достигается при x
= 1,
а наименьшее значение y=3
при x
= 2..
Билет
№22
Теорема о нуле непрерывной функции.
Теорема о среднем значении для функции,
непрерывной на отрезке (с выводом из
теоремы о нуле). Графический пример
разрывной функции, принимающей все
значения между максимумом и минимумом.
|
Рисунок 1.3.7.1. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [a3; b3] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах |
Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.
Теорема
о промежуточных(средних) значениях. Если
функция f (x) непрерывна
на отрезке [a; b]
и f (a) ≠ f (b),
то для каждого значения y,
заключенного между f (a) и f (b),
найдется точка 
(и
возможно, не одна) такая, что f (x) = y.
Билет 23
П.1 Определение.
Пусть
функция y=f(x) определена в некоторых
окрестностях точки
,
функция f(x) называется непрерывной в т.
,
если
Графики:
Непрерывность слева f(x) определена ( -ϭ; ]
Непрерывность справа f(x) определена [ ; + ϭ]
|
